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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2026

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu167211
Banca
VUNESP
Órgão
USCS
Ano
2026
Cargo
Vest ( )
Uma farmácia tem 10 funcionários que devem ser divididos em 2 grupos de 5 pessoas. Cada grupo fará uma atividade diferente e cada funcionário pode ficar em qualquer grupo, com exceção de dois desses funcionários, Alberto e Bruno, que não podem ficar juntos no mesmo grupo. O número de maneiras distintas para se montar esses dois grupos é
  1. A70.
  2. B50.
  3. C100.
  4. D30.
  5. E140.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 140.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 140 maneiras — alternativa E.

A ideia por trás

A análise combinatória conta de quantas formas podemos agrupar elementos. Quando a ordem dentro do grupo não importa, usamos a combinação: escolher k elementos entre n disponíveis, sem repetir e sem se importar com a sequência. A fórmula é C(n,k) = n! / (k! · (n-k)!).

A combinação C(n,k) conta quantos subconjuntos de tamanho k existem em um conjunto de n elementos. Ela cresce rapidamente com n e com k. Quando temos restrições, como 'dois elementos não podem ficar juntos', o caminho é contar o total sem restrição e subtrair os casos proibidos. Se os grupos são distintos (atividade A e B), cada divisão é contada uma vez para cada escolha do grupo A.

Aqui precisamos dividir 10 pessoas em dois grupos de 5, com atividades diferentes, e excluir os casos em que Alberto e Bruno ficam juntos. Vamos usar combinação para escolher o grupo A e depois subtrair os casos proibidos.

O que a questão dá

  • 10 funcionários no total

  • 2 grupos de 5 pessoas cada

  • atividades diferentes para cada grupo

  • Alberto e Bruno não podem ficar juntos

O que queremos: o número de maneiras de dividir os funcionários respeitando a restrição

Passo 1 — Calcular o total sem restrição

Primeiro contamos todas as formas de dividir os 10 funcionários em dois grupos de 5, sem nos preocupar com a restrição. Como as atividades são diferentes, escolher o grupo A já define o grupo B (os que sobraram).

Por que esta fórmula: Usamos combinação porque a ordem dentro do grupo não importa: escolher 5 pessoas entre 10 para a atividade A. A fórmula C(10,5) = 10! / (5! · 5!) = 252.

C(10,5)=10!5!⋅5!C(10{,}5) = \frac{10!}{5! \cdot 5!}

De onde vem cada valor: 1010 = enunciado: 10 funcionários · 55 = enunciado: grupos de 5 pessoas

C(10,5)=10⋅9⋅8⋅7⋅65⋅4⋅3⋅2⋅1=252=252 maneirasC(10{,}5) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252 = \boxed{252\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que os grupos são distintos e dividir por 2, o que daria 126. Mas como as atividades são diferentes, cada divisão é única.

Passo 2 — Contar os casos proibidos

Agora precisamos excluir as divisões em que Alberto e Bruno ficam juntos. Eles podem estar juntos no grupo A ou no grupo B. Vamos contar cada caso separadamente.

Por que esta fórmula: Se eles estão juntos no grupo A, já escolhemos 2 pessoas (Alberto e Bruno) e precisamos escolher mais 3 entre os 8 restantes para completar o grupo. Isso é C(8,3). O mesmo vale para o grupo B, então multiplicamos por 2.

2×C(8,3)=2×8!3!⋅5!2 \times C(8{,}3) = 2 \times \frac{8!}{3! \cdot 5!}

De onde vem cada valor: 22 = constante: dois grupos possíveis (A ou B) · 88 = constante: 10 funcionários - 2 fixos (Alberto e Bruno) · 33 = constante: 5 vagas no grupo - 2 já preenchidas

2×8⋅7⋅63⋅2⋅1=2×56=1122 \times \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \times 56 = 112

112 casos proibidos

NÃO CAIA NESSA!

Contar apenas um grupo (56) e esquecer que eles podem estar juntos no outro grupo também.

Passo 3 — Subtrair os casos proibidos do total

O total sem restrição inclui os casos em que Alberto e Bruno estão juntos, que não são permitidos. Subtraindo, obtemos exatamente as divisões válidas.

Por que esta fórmula: A contagem correta é: total - proibidos = válidos. Não há outra fórmula, é uma subtração direta.

252−112252 - 112

De onde vem cada valor: 252252 = passo 1 · 112112 = passo 2

252−112=140=140 maneiras252 - 112 = 140 = \boxed{140\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair apenas 56 (um grupo) e obter 196, ou dividir o total por 2 antes de subtrair, o que daria 70.

Resposta: 140 maneiras — alternativa E

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