GabaritoA — 10.
Gabarito: letra A — a conta chega a 10 — alternativa A.
O módulo de um número real é a sua distância até o zero na reta numérica, por isso ele nunca é negativo. Uma inequação modular é uma desigualdade que envolve esse módulo, e resolvê-la significa descobrir quais valores de x tornam a sentença verdadeira.
Para eliminar o módulo, é preciso separar em dois casos: quando a expressão dentro do módulo é não negativa, o módulo é a própria expressão; quando é negativa, o módulo é o oposto dela. Cada caso gera uma inequação sem módulo, e a solução final é a união das soluções de cada caso, respeitando as condições de cada um.
Esta questão cobra exatamente essa separação em casos: precisamos analisar o que acontece quando x – 8 é positivo ou zero e quando é negativo, e depois juntar as respostas para achar o conjunto solução.
inequação: |x – 8| ≥ x
conjunto dos números naturais
O que queremos: a soma de todos os números naturais que satisfazem a inequação
O módulo esconde o sinal da expressão interna, então para escrever a inequação sem módulo precisamos saber se x – 8 é positivo ou negativo. Isso divide a reta em duas regiões: x ≥ 8 e x < 8.
Esquecer de considerar um dos casos — quem só analisa x ≥ 8 não acha solução e pode concluir errado que não há resposta.
Nessa região, x – 8 é não negativo, então o módulo é simplesmente x – 8. Substituímos na inequação original para ver o que ela exige.
Por que esta fórmula: A definição de módulo: se o que está dentro é ≥ 0, o módulo é o próprio valor. Então |x – 8| = x – 8.
De onde vem cada valor: = definição: módulo de x – 8 quando x ≥ 8 · = enunciado: lado direito da inequação original
Parar aqui e achar que a inequação não tem solução, esquecendo do segundo caso.
Agora x – 8 é negativo, então o módulo é o oposto: 8 – x. Precisamos ver o que a inequação vira nessa região.
Por que esta fórmula: Definição de módulo: se o que está dentro é negativo, o módulo é o oposto, ou seja, –(x – 8) = 8 – x.
De onde vem cada valor: = definição: módulo de x – 8 quando x < 8 · = enunciado: lado direito da inequação original
Errar o sinal ao tirar o módulo: escrever x – 8 em vez de 8 – x.
Temos uma inequação do primeiro grau; precisamos deixar x sozinho para saber quais valores servem.
Por que esta fórmula: Somamos x dos dois lados e depois dividimos por 2, que é positivo, então o sinal da desigualdade não muda.
De onde vem cada valor: = passo 3: termo constante da inequação 8 – x ≥ x · = passo 3: soma de x com x após somar x dos dois lados
Dividir por 2 e inverter o sinal sem necessidade — só se inverte quando se multiplica ou divide por número negativo.
A solução da inequação original é a união do que cada caso permitiu. O caso 1 não deu nada; o caso 2 deu x ≤ 4, então essa é a resposta.
Esquecer de verificar se a condição do caso (x < 8) é respeitada — aqui x ≤ 4 já está dentro dela.
A questão pede a soma dos naturais que satisfazem a inequação. O conjunto solução é x ≤ 4, então os naturais são 0, 1, 2, 3 e 4.
Esquecer que 0 é natural e excluí-lo da lista — aqui a soma daria 10 de qualquer jeito, mas em outras questões isso muda a resposta.
A pergunta final é a soma, então agora é só somar os cinco números.
De onde vem cada valor: = passo 6
Errar a soma simples por pressa — confira sempre.
Resposta: 10 — alternativa A
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