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Questão de Matemática — Cálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo — VUNESP 2026

MatemáticaCálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo
Código
vu167216
Banca
VUNESP
Órgão
USCS
Ano
2026
Cargo
Vest ( )
Sobre os lados do triângulo retângulo ABC, no qual o ângulo BÂC mede 30°, estão os pontos D e E, de maneira que o segmento ED mede 2 cm, o segmento DC mede 6 cm, e com AED determinando um triângulo retângulo, conforme mostra a figura.   O cateto BC medeImagem associada para resolução da questão
  1. A6 cm.
  2. B3 cm.
  3. C4 cm.
  4. D5 cm.
  5. E7 cm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 5 cm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a BC = 5 cm — alternativa D.

A ideia por trás

Num triângulo retângulo, as razões trigonométricas relacionam os ângulos agudos com as medidas dos lados. O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto a ele e a hipotenusa; o cosseno é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Essas razões são constantes para cada ângulo, independentemente do tamanho do triângulo.

Para um ângulo θ, temos sen θ = cateto oposto / hipotenusa e cos θ = cateto adjacente / hipotenusa. Para θ = 30°, os valores são fixos: sen 30° = 1/2 e cos 30° = √3/2. Isso significa que, em qualquer triângulo retângulo com um ângulo de 30°, o cateto oposto é sempre metade da hipotenusa, e o cateto adjacente é √3/2 vezes a hipotenusa.

Esta questão usa dois triângulos retângulos que compartilham o ângulo de 30°. Primeiro, no triângulo AED, usamos o seno para achar AD; depois, no triângulo ABC, usamos o seno novamente para achar BC, aproveitando que AC = AD + DC.

O que a questão dá

  • ângulo BÂC = 30°

  • ED = 2 cm

  • DC = 6 cm

  • triângulo AED é retângulo

O que queremos: a medida do cateto BC

Passo 1 — Achar a hipotenusa AD do triângulo AED

No triângulo AED, conhecemos o cateto oposto ao ângulo de 30° (ED = 2 cm) e queremos a hipotenusa AD. A razão que liga cateto oposto com hipotenusa é o seno.

Por que esta fórmula: sen θ = cateto oposto / hipotenusa. Aqui, θ = 30°, cateto oposto = ED, hipotenusa = AD.

sen 30°=EDAD\text{sen } 30° = \frac{ED}{AD}

De onde vem cada valor: EDED = enunciado: 2 cm · 30°30° = enunciado: ângulo BÂC = 30°

12=2AD\frac{1}{2} = \frac{2}{AD}
AD=4 cmAD = \boxed{4\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão, usando AD/ED = 1/2, o que daria AD = 1 cm.

Passo 2 — Calcular o lado AC do triângulo maior

O lado AC é formado pelos segmentos AD e DC, que estão em linha reta. Para usar o triângulo ABC, precisamos da medida de sua hipotenusa AC.

Por que esta fórmula: AC = AD + DC, pois D está entre A e C.

AC=AD+DCAC = AD + DC

De onde vem cada valor: ADAD = passo 1: 4 cm · DCDC = enunciado: 6 cm

AC=4+6AC = 4 + 6
AC=10 cmAC = \boxed{10\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar e usar AD = 4 como se fosse AC.

Passo 3 — Achar o cateto BC usando o seno de 30°

No triângulo ABC, o ângulo em A também é 30°, e BC é o cateto oposto a ele. Conhecemos a hipotenusa AC = 10 cm, então aplicamos o seno para achar BC.

Por que esta fórmula: sen θ = cateto oposto / hipotenusa. Aqui, θ = 30°, cateto oposto = BC, hipotenusa = AC.

sen 30°=BCAC\text{sen } 30° = \frac{BC}{AC}

De onde vem cada valor: BCBC = definição: cateto oposto ao ângulo de 30° no triângulo ABC · ACAC = passo 2: 10 cm · 30°30° = enunciado: ângulo BÂC = 30°

12=BC10\frac{1}{2} = \frac{BC}{10}
BC=5 cmBC = \boxed{5\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar cosseno em vez de seno, o que daria BC = 5√3 cm, que não está nas alternativas.

Resposta: BC = 5 cm — alternativa D

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