GabaritoD — 10.
Gabarito: letra D — a conta chega a 10 — alternativa D.
A área de um triângulo no plano cartesiano mede, em unidades de área, o espaço que ele ocupa. Para calculá-la a partir das coordenadas dos três vértices, existem duas ferramentas: a fórmula do determinante, que serve para qualquer triângulo, e a fórmula base vezes altura, que é mais rápida quando dois pontos têm a mesma coordenada, formando uma base horizontal ou vertical.
A fórmula do determinante usa as coordenadas dos três pontos: Área = ½ · |det|, onde o determinante é montado com as coordenadas e uma coluna de 1s. Ela funciona sempre, mas exige atenção ao sinal. Já a fórmula base × altura / 2 vale quando se identifica uma base e a altura correspondente; se dois pontos têm o mesmo y, a base é horizontal e a altura é a diferença vertical até o terceiro ponto. Ambas dão o mesmo resultado, e a escolha é só de conveniência.
Esta questão pede primeiro achar os pontos A e B, que são as interseções da reta com os eixos, e depois calcular a área do triângulo. Como B e C têm o mesmo y, a base BC é horizontal, o que permite usar a fórmula mais simples.
reta: y = -2x + 5
A é a interseção com o eixo x
B é a interseção com o eixo y
C = (4, 5)
O que queremos: a área do triângulo ABC
O ponto A é onde a reta corta o eixo x. Nesse ponto, a coordenada y é sempre zero, porque qualquer ponto sobre o eixo x tem y = 0. Então substituímos y por 0 na equação da reta para descobrir o x correspondente.
Por que esta fórmula: A equação da reta já está na forma y = -2x + 5; basta impor y = 0 e resolver para x.
De onde vem cada valor: = definição: ponto no eixo x tem y = 0 · = enunciado: equação da reta
x = 2,5, logo A = (2,5; 0)
Errar o sinal ao isolar x: 2x = 5, não -2x = 5.
O ponto B é onde a reta corta o eixo y. Nesse ponto, a coordenada x é zero, porque qualquer ponto sobre o eixo y tem x = 0. Substituímos x por 0 na equação da reta para achar o y.
Por que esta fórmula: Novamente usamos a equação da reta, agora com x = 0.
De onde vem cada valor: = definição: ponto no eixo y tem x = 0 · = enunciado: equação da reta com x = 0
y = 5, logo B = (0, 5)
Confundir e achar que B é (5, 0), trocando os eixos.
Com os três pontos A(2,5; 0), B(0, 5) e C(4, 5), percebemos que B e C têm a mesma ordenada y = 5. Isso significa que o segmento BC é horizontal, paralelo ao eixo x. Essa é a base perfeita para o triângulo, porque a altura será a distância vertical de A até essa reta.
Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui; é uma observação geométrica que simplifica o cálculo.
Não perceber que B e C têm o mesmo y e tentar usar outra base, complicando a conta.
A base BC é o segmento horizontal entre B(0, 5) e C(4, 5). Como o y é igual, o comprimento é a diferença entre os x: 4 - 0 = 4.
Por que esta fórmula: A distância entre dois pontos com a mesma ordenada é simplesmente a diferença das abscissas.
De onde vem cada valor: = enunciado: C = (4, 5) · = passo 2: B = (0, 5)
Usar a diferença de y, que é zero, e achar base 0.
A altura é a distância perpendicular da base até o vértice oposto A. Como a base BC está na reta y = 5, a altura é a distância vertical de A(2,5; 0) até essa reta, ou seja, 5 - 0 = 5.
Por que esta fórmula: A distância vertical entre um ponto e uma reta horizontal é a diferença entre as ordenadas.
De onde vem cada valor: = passo 3: y = 5 · = passo 1: A = (2,5; 0)
Usar a distância entre A e B ou A e C, que não é perpendicular à base.
Com a base e a altura em mãos, a área é metade do produto delas. Essa é a fórmula clássica da área de qualquer triângulo.
Por que esta fórmula: Área = (base × altura) / 2 é a definição de área de triângulo; vale para qualquer triângulo, desde que base e altura sejam perpendiculares.
De onde vem cada valor: = passo 4: 4 · = passo 5: 5
Esquecer de dividir por 2 e marcar 20.
Resposta: 10 — alternativa D
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