GabaritoE — 124.
Gabarito: letra E — a conta chega a 124 — alternativa E.
Uma sequência numérica é uma lista ordenada de números que segue uma regra de formação. Para resolver problemas assim, o primeiro passo é identificar o padrão que gera cada termo a partir do anterior, muitas vezes agrupando os termos em blocos que se repetem com alguma variação.
Nesta sequência, os termos se organizam em blocos: o bloco k começa com 10k e contém k+1 números, decrescendo de 1 em 1 até 9k. Por exemplo, o bloco 3 é 30, 29, 28, 27 (4 números). O tamanho de cada bloco cresce de 1 em 1, e a soma dos tamanhos dos blocos até o bloco n é a soma dos primeiros n+1 números naturais a partir de 2.
Precisamos descobrir em qual bloco estão os termos 27º e 28º, e para isso vamos somar os tamanhos dos blocos até localizar as posições.
sequência: 10, 9, 20, 19, 18, 30, 29, 28, 27, 40, ..., 81
total de elementos: 54
elementos centrais: 27º e 28º
O que queremos: a soma dos elementos centrais (27º e 28º)
Para entender a sequência, precisamos ver como ela se agrupa. Observando os primeiros termos, notamos que cada bloco começa com um múltiplo de 10 e desce de 1 em 1, com um número de elementos igual ao número do bloco mais 1.
Por que esta fórmula: O bloco k começa em 10k e tem k+1 termos, descendo até 10k - k = 9k. Isso explica os blocos: bloco 1: 10, 9; bloco 2: 20, 19, 18; bloco 3: 30, 29, 28, 27.
De onde vem cada valor: = definição: número do bloco (1, 2, 3, ...) · = definição: primeiro termo do bloco · = definição: último termo do bloco
Achar que o bloco k tem k termos, mas na verdade tem k+1 termos.
O enunciado diz que a sequência termina em 81. Precisamos descobrir se 81 é o último termo de algum bloco, o que nos dirá quantos blocos existem e quantos termos cada um tem.
Por que esta fórmula: Se 81 é o último termo do bloco k, então 9k = 81, logo k = 9. O bloco 9 começa em 90 e tem 10 termos: 90, 89, ..., 81.
De onde vem cada valor: = passo 1: último termo do bloco k · = enunciado: último termo da sequência
Tentar resolver 9k+1 = 81, que não dá inteiro, e se confundir.
Para garantir que a contagem bate com os 54 elementos do enunciado, somamos os tamanhos dos blocos de 1 a 9. Isso confirma o padrão e nos dá a posição de cada bloco.
Por que esta fórmula: O bloco k tem k+1 termos, então a soma dos tamanhos dos blocos 1 a 9 é a soma de 2 a 10, que é uma progressão aritmética.
De onde vem cada valor: = passo 1: tamanho do bloco 1 (2 termos) · = passo 1: tamanho do bloco 9 (10 termos) · = passo 2: número de blocos
Esquecer que o bloco 1 tem 2 termos e não 1.
Precisamos saber em qual bloco está o 27º termo. Somamos os tamanhos dos blocos até ultrapassar 27.
Por que esta fórmula: Somamos os tamanhos dos blocos em ordem: bloco 1 (2), bloco 2 (3), etc., até a soma chegar a 27.
De onde vem cada valor: = passo 1: tamanho do bloco 1 · = passo 1: tamanho do bloco 2 · = passo 1: tamanho do bloco 3 · = passo 1: tamanho do bloco 4 · = passo 1: tamanho do bloco 5
27º termo está no bloco 6
Contar errado as posições, pulando algum bloco.
O bloco 6 começa em 60 e tem 7 termos: 60, 59, 58, 57, 56, 55, 54. O 27º termo é o último desse bloco, pois as posições 21 a 27 são ocupadas por ele.
Por que esta fórmula: O bloco 6 é: 60, 59, 58, 57, 56, 55, 54. O último termo é 54.
De onde vem cada valor: = passo 1: 10 × 6 · = passo 1: 9 × 6
Achar que o bloco 6 tem 6 termos, mas tem 7.
O 28º termo é o primeiro do bloco 7, que começa em 70 e tem 8 termos: 70, 69, 68, 67, 66, 65, 64, 63. O primeiro termo é 70.
Por que esta fórmula: O bloco 7 começa em 10×7 = 70.
De onde vem cada valor: = passo 1: 10 × 7
Confundir e achar que o 28º termo é o segundo do bloco 7, mas é o primeiro.
Agora que temos os dois termos, basta somá-los para obter a resposta.
Por que esta fórmula: Soma direta: 54 + 70 = 124.
De onde vem cada valor: = passo 5 · = passo 6
Somar errado ou usar os termos errados.
Resposta: 124 — alternativa E
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