Questão de Matemática — Geral — VUNESP 2026

Geometria Plana: semelhança e razão de áreas

Gabarito: letra C — a razão entre as bases menor e maior do trapézio é $\frac{1}{4}$. A chave está na semelhança entre o triângulo original e o novo triângulo formado pela linha paralela: a razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança, e a razão entre as bases do trapézio é a razão entre os catetos dos dois triângulos.

Vamos entender o problema. Temos um triângulo retângulo isósceles com catetos de medida $X$. Traçamos uma linha paralela a um dos catetos, dividindo o triângulo em um novo triângulo (menor, também retângulo e isósceles) e um trapézio retângulo. A razão entre a área do novo triângulo e a área do trapézio é $\frac{1}{15}$.

Primeiro, vamos definir as áreas. Seja $A_T$ a área do triângulo original, $A_{novo}$ a área do novo triângulo e $A_{trap}$ a área do trapézio. Temos que $A_T = A_{novo} + A_{trap}$ e $\frac{A_{novo}}{A_{trap}} = \frac{1}{15}$.

Podemos então escrever $A_{trap} = 15 \cdot A_{novo}$. Substituindo na soma: $A_T = A_{novo} + 15 \cdot A_{novo} = 16 \cdot A_{novo}$. Portanto, a razão entre a área do novo triângulo e a área do triângulo original é $\frac{A_{novo}}{A_T} = \frac{1}{16}$.

Agora, a parte crucial: o novo triângulo é semelhante ao triângulo original, pois a linha traçada é paralela a um dos catetos, e ambos são triângulos retângulos isósceles. Em figuras semelhantes, a razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança (que é a razão entre os lados correspondentes). Seja $k$ a razão de semelhança entre o novo triângulo e o original (ou seja, a razão entre os catetos do novo e os catetos do original). Então, $k^2 = \frac{A_{novo}}{A_T} = \frac{1}{16}$, logo $k = \frac{1}{4}$.

Isso significa que o cateto do novo triângulo mede $\frac{X}{4}$. O trapézio retângulo tem base maior igual ao cateto do triângulo original ($X$) e base menor igual ao cateto do novo triângulo ($\frac{X}{4}$). Portanto, a razão entre a base menor e a base maior do trapézio é $\frac{X/4}{X} = \frac{1}{4}$.

A pegadinha desta questão é confundir a razão entre as áreas com a razão entre os lados. A banca oferece alternativas que seriam obtidas se o aluno usasse diretamente a razão das áreas ($\frac{1}{15}$ ou $\frac{1}{16}$) ou a razão de semelhança de forma incorreta. É fundamental lembrar que, para figuras semelhantes, a razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{1}{2}$ seria a razão de semelhança se a razão entre as áreas fosse $\frac{1}{4}$, o que não é o caso. O aluno que erra aqui provavelmente calculou a razão entre as áreas como $\frac{1}{4}$ (talvez por considerar que o trapézio tem área 3 vezes maior que o triângulo, em vez de 15 vezes).

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{1}{3}$ não corresponde a nenhuma razão derivada corretamente dos dados. Se a razão entre as áreas fosse $\frac{1}{9}$, a razão entre os lados seria $\frac{1}{3}$, mas a razão dada é $\frac{1}{15}$, e a razão entre o novo triângulo e o original é $\frac{1}{16}$.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a razão entre a área do novo triângulo e a área do triângulo original é $\frac{1}{16}$. A razão de semelhança é a raiz quadrada disso, ou seja, $\frac{1}{4}$. Como o trapézio tem base maior igual ao cateto original ($X$) e base menor igual ao cateto do novo triângulo ($\frac{X}{4}$), a razão entre elas é $\frac{1}{4}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\frac{1}{5}$ seria a razão de semelhança se a razão entre as áreas fosse $\frac{1}{25}$. O aluno pode ter confundido a razão entre as áreas do novo triângulo e do trapézio ($\frac{1}{15}$) com a razão entre o novo triângulo e o original, e depois tirado a raiz quadrada de forma incorreta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{1}{6}$ não corresponde a nenhuma razão derivada corretamente. Se a razão entre as áreas fosse $\frac{1}{36}$, a razão entre os lados seria $\frac{1}{6}$, mas não é o caso. O aluno pode ter errado ao calcular a área total ou ao relacionar as áreas.

Gabarito: letra C