Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2026

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu167238
Banca
VUNESP
Órgão
UNICERRADO
Ano
2026
Cargo
Vest Med ( )
Bianca trabalha com adestramento de cachorros e, na próxima semana, iniciará o atendimento diário de 6 animais, de modo que o tutor de cada animal sempre deverá participar do treino. Esses atendimentos são individuais, ocorrem no período da manhã, e cada animal terá um horário determinado para o treino de adestramento entre os seis horários disponíveis. Os tutores de 4 cachorros têm disponibilidade de treino em qualquer um dos horários; a tutora de Amora só poderá participar no primeiro ou no segundo horários, e o tutor de Luna só poderá participar em um dos 3 últimos horários disponibilizados.   Nessas condições, o número de maneiras distintas que Bianca poderá organizar os horários de treino desses 6 animais é
  1. A196.
  2. B120.
  3. C224.
  4. D144.
  5. E256.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 144.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 144 maneiras — alternativa D.

A ideia por trás

Análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas formas diferentes podemos organizar ou escolher elementos. Quando a ordem importa, como aqui (cada animal tem um horário específico), usamos o princípio fundamental da contagem: se uma escolha tem n opções e outra tem m opções, o total de combinações é n × m. É como montar um cardápio: escolher a bebida (3 opções) e o prato (4 opções) dá 3 × 4 = 12 refeições possíveis.

Neste problema, temos 6 animais distintos para ocupar 6 posições (horários) distintas. Sem restrições, seria uma permutação de 6 elementos: 6! = 720. Mas há restrições: Amora só pode ficar em 2 horários e Luna em 3. A estratégia é fixar primeiro os animais com restrição, pois eles limitam as escolhas dos demais. O princípio multiplicativo diz que multiplicamos as opções de cada etapa: primeiro Amora (2 opções), depois Luna (3 opções), e por fim os 4 cachorros restantes nos 4 horários que sobraram (4! = 24).

Esta questão cobra exatamente o princípio fundamental da contagem com restrições de posição. O passo crucial é perceber que as restrições de Amora e Luna não se sobrepõem, então basta multiplicar as opções de cada um e depois permutar os cachorros restantes.

O que a questão dá

  • 6 animais para 6 horários

  • 4 cachorros sem restrição de horário

  • Amora: só no 1º ou 2º horário

  • Luna: só em um dos 3 últimos horários

O que queremos: o número de maneiras distintas de organizar os horários

Passo 1 — Escolher o horário de Amora

Amora tem a restrição mais rígida: só pode ficar no primeiro ou no segundo horário. Como ela limita as escolhas dos outros, começamos por ela. São 2 opções possíveis.

2 opc\co~es\boxed{2\ \text{op}çõ\text{es}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que Amora tem apenas 2 opções e contar como se pudesse ficar em qualquer horário.

Passo 2 — Escolher o horário de Luna

Luna também tem restrição: só pode ficar em um dos 3 últimos horários (4º, 5º ou 6º). Como os horários de Amora (1º e 2º) não se sobrepõem aos de Luna (4º, 5º e 6º), as escolhas são independentes. São 3 opções.

3 opc\co~es\boxed{3\ \text{op}çõ\text{es}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que Luna poderia ficar em qualquer horário, ou que as restrições se sobrepõem.

Passo 3 — Permutar os 4 cachorros restantes

Depois de fixar Amora e Luna, sobram 4 horários e 4 cachorros sem restrição. A ordem importa, pois cada cachorro tem seu horário. O número de maneiras de organizar 4 elementos distintos em 4 posições é 4! (fatorial de 4).

Por que esta fórmula: Permutação de n elementos distintos: n! = n × (n-1) × ... × 1. Aqui, n = 4, então 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

4!=4×3×2×14! = 4 \times 3 \times 2 \times 1

De onde vem cada valor: 44 = enunciado: 4 cachorros sem restrição

4!=4×3×2×1=24 maneiras4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \boxed{24\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 6! = 720, esquecendo que Amora e Luna já ocuparam horários fixos.

Passo 4 — Multiplicar as opções de cada etapa

Pelo princípio fundamental da contagem, o total de maneiras é o produto das opções de cada etapa independente: Amora (2), Luna (3) e os cachorros (24). Multiplicamos porque cada escolha de horário para Amora pode ser combinada com cada escolha para Luna e com cada permutação dos cachorros.

Por que esta fórmula: O PFC diz que se uma decisão tem a opções, outra tem b opções e uma terceira tem c opções, o total é a × b × c.

Total=2×3×4!Total = 2 \times 3 \times 4!

De onde vem cada valor: 22 = passo 1: opções de Amora · 33 = passo 2: opções de Luna · 4!4! = passo 3: permutação dos cachorros

Total=2×3×24=144 maneirasTotal = 2 \times 3 \times 24 = \boxed{144\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 4! e responder apenas 2 × 3 = 6.

Resposta: 144 maneiras — alternativa D

Link permanente: /questoes/vu167238