Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2026

Geometria Espacial: cubos e diagonais

Gabarito: letra E — o volume de cada cubo sólido é 1 cm³. A chave está em perceber que as diagonais das bases dos 4 cubos menores, juntas, cobrem a diagonal da base do cubo maior, o que impõe uma relação direta entre as arestas: a diagonal da base do cubo maior é 4 vezes a diagonal da base de um cubo menor, e disso decorre que a aresta do cubo maior é 4 vezes a aresta do cubo menor. Como o volume do cubo maior é 64 cm³, sua aresta é 4 cm, logo a aresta de cada cubo menor é 1 cm e seu volume é 1 cm³.

O problema envolve a relação entre as diagonais das bases de cubos. A diagonal de um quadrado de lado $L$ é $L\sqrt{2}$. Quando dizemos que as diagonais das bases dos 4 cubos sólidos "cobrem completamente" a diagonal da base do cubo oco, isso significa que, ao colocarmos os 4 cubos menores enfileirados sobre a base do cubo maior, a soma das diagonais de suas bases é exatamente igual à diagonal da base do cubo maior. Como os 4 cubos são idênticos, cada diagonal de base de um cubo menor corresponde a um quarto da diagonal da base do cubo maior.

Seja $D$ a diagonal da base do cubo maior e $d$ a diagonal da base de cada cubo menor. Temos $D = 4d$. Como $D = L\sqrt{2}$ e $d = l\sqrt{2}$, onde $L$ é a aresta do cubo maior e $l$ a aresta de cada cubo menor, substituindo:

Ou seja, a aresta do cubo maior é exatamente 4 vezes a aresta de cada cubo menor. Essa é a relação central que resolve a questão.

O volume do cubo maior é dado como 64 cm³. Como o volume de um cubo é $V = a^3$, temos:

Portanto, a aresta do cubo maior é 4 cm. Como $L = 4l$, a aresta de cada cubo menor é:

O volume de cada cubo menor é então:

A pegadinha da banca está em tentar relacionar os volumes diretamente (64 ÷ 4 = 16) sem passar pela relação entre as arestas. Como o volume escala com o cubo da aresta, se a aresta é 4 vezes menor, o volume é $4^3 = 64$ vezes menor. Assim, $64 \div 64 = 1$ cm³. Quem divide o volume por 4 cai na alternativa D (16 cm³, que nem está listada) ou em outros distratores.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $\sqrt{2}$ cm³. Esse valor não corresponde a nenhuma relação direta do problema. Se o aluno tentasse usar a diagonal da base ($l\sqrt{2}$) como se fosse a aresta, poderia chegar a um volume com $\sqrt{2}$, mas a aresta correta é 1 cm, e o volume é 1 cm³. Não há fundamento geométrico para esse resultado.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $2\sqrt{2}$ cm³. Esse valor também não decorre da relação correta. Se a aresta do cubo menor fosse $\sqrt[3]{2\sqrt{2}}$, a relação com a diagonal não se sustentaria. O erro aqui é semelhante ao da alternativa A: usar a diagonal da base como se fosse a aresta, ou confundir as relações de proporção.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta 2 cm³. Esse valor corresponderia a uma aresta de $\sqrt[3]{2}$ cm. Se a aresta do cubo menor fosse $\sqrt[3]{2}$, a aresta do cubo maior seria $4\sqrt[3]{2}$, e o volume do cubo maior seria $(4\sqrt[3]{2})^3 = 64 \cdot 2 = 128$ cm³, o que contradiz o enunciado (64 cm³). Portanto, está incorreta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $4\sqrt{2}$ cm³. Esse valor é o resultado de um erro clássico: dividir o volume do cubo maior (64) por 4 e depois multiplicar por $\sqrt{2}$, ou confundir a relação entre as diagonais com a relação entre os volumes. A relação correta é entre as arestas, não entre as diagonais diretamente aplicadas ao volume. O volume correto é 1 cm³.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O volume de cada cubo sólido é 1 cm³. A demonstração: a diagonal da base do cubo maior é 4 vezes a diagonal da base de um cubo menor, logo a aresta do cubo maior é 4 vezes a aresta do cubo menor. Como o volume do cubo maior é 64 cm³, sua aresta é 4 cm, e a aresta de cada cubo menor é 1 cm. Portanto, o volume de cada cubo menor é $1^3 = 1$ cm³.

Gabarito: letra E