Matemática · VUNESP · 2026 | Questão sqc-vu167242

Geometria Analítica: vértice e interseção com o eixo y

Gabarito: letra E — a distância entre o vértice V e o ponto P (interseção com o eixo y) é $2\sqrt{5}$ . O vértice da parábola $f(x) = x^2 + 4x + 5$ é $V(-2, 1)$ e o ponto de interseção com o eixo y é $P(0, 5)$ ; aplicando a fórmula da distância entre dois pontos, obtemos $\sqrt{(0-(-2))^2 + (5-1)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ .

A questão mistura dois conceitos de Geometria Analítica: encontrar o vértice de uma parábola (função quadrática) e calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano. Vamos por partes.

1. O vértice da parábola

Para uma função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ , o vértice $V(x_v, y_v)$ é o ponto de máximo (se $a < 0$ ) ou de mínimo (se $a > 0$ ) da parábola. As coordenadas do vértice são dadas por:

x_v = -\frac{b}{2a} \quad \text{e} \quad y_v = f(x_v)

No nosso caso, $a = 1$ , $b = 4$ e $c = 5$ . Então:

x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2

y_v = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1

Portanto, $V(-2, 1)$ .

2. O ponto de interseção com o eixo y

O eixo y é o conjunto de pontos onde $x = 0$ . Para encontrar o ponto onde a parábola intersecta o eixo y, basta calcular $f(0)$ :

f(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 + 5 = 5

Logo, $P(0, 5)$ .

3. A distância entre dois pontos

A distância entre dois pontos $A(x_1, y_1)$ e $B(x_2, y_2)$ no plano cartesiano é dada pela fórmula:

d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Aplicando para $P(0, 5)$ e $V(-2, 1)$ :

d(P, V) = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}

Simplificando $\sqrt{20}$ :

\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}

Portanto, a distância é $2\sqrt{5}$ , que corresponde à alternativa E.

NÃO CAIA NESSA!

A banca pode tentar confundir o aluno fazendo-o esquecer de calcular o $y_v$ corretamente. Um erro comum é usar a fórmula $y_v = -\frac{\Delta}{4a}$ e errar o sinal, ou simplesmente calcular $x_v$ e achar que a distância é só a diferença entre as abscissas. Outro erro frequente é confundir o ponto de interseção com o eixo y (que é $P(0, f(0))$ ) com o ponto de interseção com o eixo x (as raízes). Fique atento: a interseção com o eixo y é sempre o ponto onde $x = 0$ .

Distância entre pontos — só Pontos: P e V; só Distâncias: 2√5; Pontos∩Distâncias: √20

Alternativa A — ❌ Incorreta

$2\sqrt{2}$ seria o resultado se a distância fosse $\sqrt{8}$ , o que aconteceria se, por exemplo, as coordenadas fossem $V(-2, 1)$ e $P(0, 3)$ (diferença de 2 em x e 2 em y). Aqui, a diferença em y é 4, não 2, então o quadrado da diferença em y é 16, não 4. O aluno que erra aqui provavelmente calculou $y_v$ incorretamente (talvez usando $y_v = -\frac{b}{2a}$ em vez de $y_v = f(x_v)$ ) ou confundiu as coordenadas.

Alternativa B — ❌ Incorreta

5 é o valor de $f(0)$ , ou seja, a ordenada do ponto P. O aluno que marca esta alternativa provavelmente calculou apenas a distância vertical entre os pontos (4) e somou 1, ou confundiu a distância com o valor da função no ponto de interseção. A distância real é $\sqrt{20} \approx 4,47$ , que não é 5.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\sqrt{10}$ seria o resultado se a distância fosse $\sqrt{10}$ , o que aconteceria se as diferenças fossem 1 e 3 (1² + 3² = 10). Aqui, as diferenças são 2 e 4 (2² + 4² = 20). O aluno que marca esta alternativa provavelmente errou ao calcular $y_v$ (talvez obtendo $y_v = 3$ ) ou ao calcular a distância, usando apenas uma das diferenças.

Alternativa D — ❌ Incorreta

4 é a diferença entre as ordenadas de P e V (5 - 1 = 4). O aluno que marca esta alternativa calculou apenas a distância vertical, esquecendo-se de considerar a diferença horizontal (2). A distância entre dois pontos não é apenas a diferença em uma coordenada, mas a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, a distância entre $P(0, 5)$ e $V(-2, 1)$ é $\sqrt{(0-(-2))^2 + (5-1)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ . Esta é a alternativa correta.

Gabarito: letra E