Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2026

Geometria Analítica: distância entre pontos

Gabarito: letra A — a distância entre P e R é $4\sqrt{5}$. O ponto P tem coordenadas (6, 8) e o ponto R, intersecção da reta s com o eixo x, é (2, 0); aplicando a fórmula da distância entre dois pontos, obtemos $\sqrt{(6-2)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.

A ideia por trás

A questão combina dois conceitos fundamentais da Geometria Analítica: encontrar as coordenadas de um ponto a partir da equação de uma reta e calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano. Vamos por partes.

1. Encontrando o ponto P

O ponto P pertence à reta r, cuja equação é $y = x + 2$, e tem abscissa (coordenada x) igual a 6. Para encontrar a ordenada (coordenada y) de P, basta substituir x por 6 na equação da reta:

$y = 6 + 2 = 8$

Portanto, P = (6, 8).

2. Encontrando o ponto R

O ponto R é a intersecção da reta s com o eixo das abscissas (eixo x). No eixo x, o valor de y é sempre zero. A equação da reta s é $y = \frac{x}{2} - 1$. Substituindo y por 0, temos:

$0 = \frac{x}{2} - 1$

$\frac{x}{2} = 1$

$x = 2$

Portanto, R = (2, 0).

3. Calculando a distância entre P e R

A distância entre dois pontos $A(x_1, y_1)$ e $B(x_2, y_2)$ no plano cartesiano é dada pela fórmula:

$d(A,B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Aplicando para P(6, 8) e R(2, 0):

$d(P,R) = \sqrt{(6 - 2)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80}$

Simplificando a raiz: $\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$.

A pegadinha

A banca não tenta confundir com conceitos complexos, mas sim testar a atenção e a precisão nos cálculos. Os erros mais comuns são:

• Errar a coordenada de R: confundir a intersecção com o eixo y (onde x = 0) em vez do eixo x (onde y = 0). Se o aluno calculasse R como (0, -1), a distância seria $\sqrt{(6-0)^2 + (8-(-1))^2} = \sqrt{36+81} = \sqrt{117}$, que não está nas alternativas.

• Errar a coordenada de P: esquecer de substituir o valor de x na equação ou errar a conta (6 + 2 = 8, não 6 ou 4).

• Errar a simplificação da raiz: $\sqrt{80}$ pode ser simplificado para $4\sqrt{5}$, mas alguns alunos podem deixar como $2\sqrt{20}$ ou errar a fatoração.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a alternativa correta. Como calculado, a distância entre P(6, 8) e R(2, 0) é $\sqrt{80} = 4\sqrt{5}$. A simplificação da raiz quadrada de 80 é feita fatorando 80 em 16 × 5, e a raiz de 16 é 4, resultando em $4\sqrt{5}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $4\sqrt{2}$ seria obtido se a distância fosse $\sqrt{32}$, o que aconteceria se, por exemplo, as diferenças entre as coordenadas fossem 4 e 4 (em vez de 4 e 8). Isso ocorreria se o aluno errasse a coordenada y de P, calculando-a como 4 em vez de 8, ou se errasse a coordenada de R.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $2\sqrt{5}$ seria obtido se a distância fosse $\sqrt{20}$, o que aconteceria se as diferenças entre as coordenadas fossem 2 e 4. Isso poderia ocorrer se o aluno errasse a coordenada x de R, calculando-a como 4 em vez de 2, ou se errasse a coordenada y de P.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $5\sqrt{5}$ seria obtido se a distância fosse $\sqrt{125}$, o que aconteceria se as diferenças entre as coordenadas fossem, por exemplo, 5 e 10. Isso poderia ocorrer se o aluno errasse a coordenada x de R, calculando-a como 1 em vez de 2, ou se errasse a coordenada y de P.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $8\sqrt{2}$ seria obtido se a distância fosse $\sqrt{128}$, o que aconteceria se as diferenças entre as coordenadas fossem 8 e 8. Isso ocorreria se o aluno errasse a coordenada x de R, calculando-a como -2 em vez de 2, ou se errasse a coordenada y de P.

Gabarito: letra A