Matemática · VUNESP · 2026 | Questão sqc-vu167257

Regra de Três: produção com quebra de máquinas

Gabarito: letra C — as 100 unidades serão concluídas 2 dias antes do previsto. A chave é separar o problema em duas fases: nos 4 primeiros dias, as 10 máquinas originais produzem 25 unidades; depois, com a troca, a capacidade total sobe para 12 máquinas-equivalentes, que produzem as 75 unidades restantes em 10 dias — totalizando 14 dias, ou seja, 2 dias a menos que os 16 previstos.

A ideia por trás

O problema é uma aplicação clássica de regra de três composta, mas com uma reviravolta: a produtividade muda no meio do processo. Para resolver, precisamos trabalhar com a ideia de capacidade de produção — quanto cada máquina produz por dia — e depois somar o que foi feito em cada fase.

Vamos definir uma unidade de medida: a produtividade de uma máquina original (chamemos de $P$ ). Se 10 máquinas produzem 100 unidades em 16 dias, a produção total é:

10 \text{ máquinas} \times P \times 16 \text{ dias} = 100 \text{ unidades}

Logo, a produtividade de cada máquina original é:

P = \frac{100}{10 \times 16} = \frac{100}{160} = 0,625 \text{ unidades/dia}

Ou seja, cada máquina original produz 0,625 unidades por dia. Essa é a nossa régua.

Fase 1: os primeiros 4 dias

Nos 4 primeiros dias, as 10 máquinas originais trabalham normalmente. A produção nesse período é:

10 \times 0,625 \times 4 = 25 \text{ unidades}

Portanto, após 4 dias, 25 unidades já foram produzidas, restando 75 unidades.

Fase 2: a troca das máquinas

No fim do 4º dia, 2 máquinas quebram e são substituídas por 2 máquinas novas, cada uma com o dobro da produtividade da original. Então:

8 máquinas originais: produtividade $8 \times 0,625 = 5$ unidades/dia
2 máquinas novas: produtividade $2 \times (2 \times 0,625) = 2 \times 1,25 = 2,5$ unidades/dia

A produtividade total da nova configuração é:

5 + 2,5 = 7,5 \text{ unidades/dia}

Outra forma de enxergar: as 2 máquinas novas equivalem a 4 máquinas originais (cada uma vale por 2). Então o conjunto todo equivale a $8 + 4 = 12$ máquinas originais. Com 12 máquinas originais, a produção diária é $12 \times 0,625 = 7,5$ unidades/dia — bate com o cálculo acima.

Fase 3: o tempo restante

Com 75 unidades restantes e uma produção de 7,5 unidades/dia, o tempo necessário é:

\frac{75}{7,5} = 10 \text{ dias}

Total e comparação

Somando as duas fases:

4 \text{ dias} + 10 \text{ dias} = 14 \text{ dias}

O prazo original era de 16 dias. A diferença é:

16 - 14 = 2 \text{ dias}

Portanto, as 100 unidades são concluídas 2 dias antes do previsto.

A pegadinha

A banca quer que o candidato ignore a mudança de produtividade e trate o problema como se as 10 máquinas originais trabalhassem o tempo todo. Quem faz isso calcula que as 100 unidades levariam 16 dias, e como já se passaram 4 dias, restariam 12 dias — sem perceber que a nova configuração produz mais rápido. Outro erro comum é esquecer de descontar os 4 dias já trabalhados e calcular o tempo total como se a produção começasse do zero com as máquinas novas.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre produzir com a capacidade antiga e produzir com a capacidade nova. O candidato apressado calcula o tempo restante com as 10 máquinas originais (12 dias) e soma aos 4 dias, obtendo 16 — sem perceber que as máquinas novas aumentam a produção. A sacada é sempre separar o problema em fases e recalcular a capacidade após qualquer mudança.

Produção por fases — só Fase 1: 25; só Fase 2: 75; Fase 1∩Fase 2: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

4 dias antes do previsto seria o resultado se a produção total levasse 12 dias (16 − 4). Isso aconteceria se, após a troca, a capacidade dobrasse de forma que as 75 unidades restantes fossem feitas em 8 dias — o que não ocorre. Com 12 máquinas-equivalentes, o tempo é de 10 dias, não 8.

Alternativa B — ❌ Incorreta

3 dias antes do previsto corresponderia a um total de 13 dias. Para isso, as 75 unidades restantes precisariam ser produzidas em 9 dias, o que exigiria uma produção diária de $75/9 \approx 8,33$ unidades/dia — maior que os 7,5 reais. A conta correta dá 10 dias para a segunda fase.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado: 4 dias (fase 1) + 10 dias (fase 2) = 14 dias totais, ou seja, 2 dias antes dos 16 previstos. A nova configuração de 12 máquinas-equivalentes produz 7,5 unidades/dia, exatamente o necessário para terminar as 75 unidades restantes em 10 dias.

Alternativa D — ❌ Incorreta

1 dia antes do previsto seria o caso se o total fosse 15 dias. Isso exigiria que as 75 unidades restantes fossem feitas em 11 dias, com produção diária de $75/11 \approx 6,82$ unidades/dia — menor que a real. A conta correta mostra 10 dias para a segunda fase.

Alternativa E — ❌ Incorreta

5 dias antes do previsto corresponderia a um total de 11 dias. Para isso, as 75 unidades restantes seriam produzidas em 7 dias, exigindo $75/7 \approx 10,71$ unidades/dia — muito acima da capacidade real de 7,5. Esse valor nem de longe é alcançado com a troca feita.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de produção com mudança no meio, quebre em fases e calcule a capacidade de cada uma separadamente. Use sempre uma unidade de medida clara (a produtividade de uma máquina original) e converta tudo para ela. Isso evita o erro de misturar configurações diferentes.

Gabarito: letra C