Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2026

Análise Combinatória: distribuição de peças em casas pretas

Gabarito: letra B. O número total de possibilidades é dado por $\frac{32!}{8! \cdot (12!)^2}$, pois devemos escolher, entre as 32 casas pretas, quais 12 receberão peças pretas e quais 12 receberão peças brancas, restando 8 casas vazias. Essa é uma aplicação direta do princípio multiplicativo com combinações sucessivas.

O problema pede para distribuir 24 peças (12 pretas e 12 brancas) em 32 casas pretas distintas. A ordem em que as peças são colocadas não importa; o que importa é quais casas cada tipo de peça ocupa. Isso caracteriza um problema de combinação, não de arranjo ou permutação.

Vamos decompor o processo em etapas:

1. Escolher as casas para as peças pretas: Temos 32 casas disponíveis e precisamos escolher 12 delas para colocar as peças pretas. O número de maneiras de fazer isso é a combinação de 32 elementos tomados 12 a 12: $C_{32,12} = \frac{32!}{12! \cdot (32-12)!} = \frac{32!}{12! \cdot 20!}$.

1. Escolher as casas para as peças brancas: Após colocar as peças pretas, restam $32 - 12 = 20$ casas vazias. Precisamos escolher 12 delas para as peças brancas. O número de maneiras é $C_{20,12} = \frac{20!}{12! \cdot (20-12)!} = \frac{20!}{12! \cdot 8!}$.

1. As 8 casas restantes ficam vazias: Não há escolha a fazer, elas são determinadas automaticamente.

Pelo princípio multiplicativo, o total de possibilidades é o produto das escolhas de cada etapa:

Observe que o $20!$ do denominador da primeira combinação cancela com o $20!$ do numerador da segunda, resultando exatamente na expressão da alternativa B.

Uma forma alternativa de enxergar o mesmo problema é pensar em uma permutação com repetição: temos 32 posições (casas), onde 12 são ocupadas por peças pretas (P), 12 por peças brancas (B) e 8 ficam vazias (V). O número de sequências distintas com esses elementos é dado por:

Que é exatamente a mesma expressão. Essa visão unifica o raciocínio: estamos apenas reorganizando 32 elementos, dos quais 12 são de um tipo, 12 de outro e 8 de um terceiro.

A pegadinha clássica deste tipo de questão é confundir a natureza das peças. Como as 12 peças pretas são idênticas entre si (e o mesmo vale para as brancas), não faz sentido permutá-las entre as casas escolhidas. Se as peças fossem todas distintas (por exemplo, 24 peças diferentes), o cálculo seria outro: primeiro escolheríamos as 24 casas entre 32 e depois permutaríamos as 24 peças distintas entre elas, resultando em $C_{32,24} \times 24! = \frac{32!}{8!}$. É exatamente essa a armadilha da alternativa E.

Guarde o critério decisivo: quando os objetos a distribuir são idênticos dentro de cada categoria, usamos combinações (ou permutação com repetição); quando são todos distintos, usamos arranjo/permutação simples. É nessa fronteira que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A expressão $12^{32}$ representa o número de maneiras de escolher, para cada uma das 32 casas, uma entre 12 opções (com repetição permitida). Isso não corresponde ao problema, pois aqui temos um número fixo de peças de cada cor (12 pretas e 12 brancas) e não podemos repetir uma casa. A alternativa confunde o princípio multiplicativo com repetição com a distribuição de objetos idênticos.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o total é o produto das combinações $C_{32,12} \times C_{20,12}$, que simplifica para $\frac{32!}{8! \cdot (12!)^2}$. A alternativa representa corretamente a escolha das casas para cada cor de peça, considerando que as peças de mesma cor são idênticas.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{24!}{(8!)^3}$ não tem relação direta com o problema. Ela parece tratar de uma permutação de 24 elementos com 3 grupos de 8 repetições, o que não corresponde à situação: temos 32 casas e dois grupos de 12 peças, não 24 elementos divididos em 3 grupos de 8.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{20!}{8!}$ é um arranjo simples de 20 elementos tomados 12 a 12 ($A_{20,12}$). Isso seria usado se estivéssemos escolhendo e ordenando 12 casas entre 20, o que não é o caso. Aqui a ordem das casas não importa, e o número de casas disponíveis é 32, não 20.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{32!}{24!}$ é um arranjo simples de 32 elementos tomados 24 a 24 ($A_{32,24}$). Isso corresponderia a escolher e ordenar 24 casas entre 32, o que seria correto apenas se as 24 peças fossem todas distintas entre si. Como temos 12 peças pretas idênticas e 12 brancas idênticas, essa alternativa está errada. Ela é a pegadinha clássica: ignora a repetição das peças.

Gabarito: letra B