Questão de Matemática — Semelhança entre Polígonos. Razão de Semelhança — VUNESP 2026

Semelhança de retângulos e equação logarítmica

Gabarito: letra C. A equação que resolve a situação é $(x+10)^x = x^{x+10}$, obtida ao impor que a razão entre os lados correspondentes dos retângulos semelhantes seja igual: a razão entre as larguras ($x$ e $ log_{10} x$) deve ser igual à razão entre as alturas ($x+10$ e $ log_{10}(x+10)$). Essa igualdade, após aplicar a definição de logaritmo, gera exatamente a equação da alternativa C.

A semelhança entre duas figuras geométricas, como dois retângulos, significa que elas têm a mesma forma, mas tamanhos possivelmente diferentes. Na prática, isso se traduz em uma regra de ouro: os lados correspondentes são proporcionais. Ou seja, se o retângulo R1 tem largura $L_1$ e altura $A_1$, e o retângulo R2 tem largura $L_2$ e altura $A_2$, a semelhança garante que:

Essa é a razão de semelhança, um número constante que relaciona todos os comprimentos correspondentes das duas figuras. É importante não confundir com a razão entre as áreas, que seria o quadrado dessa razão, mas aqui o problema trabalha apenas com os lados.

Aplicando essa regra ao enunciado, temos:

• Largura de R1: $x$

• Altura de R1: $x + 10$ (pois supera a largura em 10 cm)

• Largura de R2: $\log_{10} x$

• Altura de R2: $\log_{10}(x+10)$

A proporção fica:

Multiplicando em cruz (produto dos meios pelos extremos):

Agora, o passo crucial é usar a definição de logaritmo. A igualdade $a \cdot \log_b c = d$ pode ser reescrita como $\log_b c^a = d$, e, pela definição, isso equivale a $b^d = c^a$. Aplicando essa propriedade em ambos os lados da nossa equação, podemos "eliminar" os logaritmos:

• Do lado esquerdo, $x \cdot \log_{10}(x+10) = \log_{10}(x+10)^x$

• Do lado direito, $(x+10) \cdot \log_{10} x = \log_{10} x^{x+10}$

Assim, a equação se torna:

Como a função logarítmica é injetora (dois logaritmos de mesma base são iguais se, e somente se, seus logaritmandos são iguais), podemos igualar os logaritmandos:

Que é exatamente a equação da alternativa C.

A pegadinha desta questão não está em um erro de cálculo, mas na manipulação algébrica dos logaritmos. O candidato que não domina a propriedade $a \cdot \log_b c = \log_b c^a$ pode travar na equação com logaritmos e não conseguir chegar à forma exponencial. Além disso, é comum inverter os expoentes ao aplicar a propriedade, gerando equações como as das alternativas A, B, D ou E.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A equação $(x+10)^{x+10} = x^x$ não reflete a proporção correta. O erro está em elevar cada lado da igualdade original a um expoente que não corresponde à estrutura da equação. A forma correta, como deduzido, é $(x+10)^x = x^{x+10}$, com os expoentes trocados em relação a esta alternativa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A equação $(x+10)^x = x$ é claramente incorreta, pois ignora completamente o expoente $x+10$ que deve aparecer no lado direito. Ela não decorre de nenhuma manipulação válida da proporção inicial e não representa a relação de semelhança.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado no desenvolvimento, a proporção entre os lados correspondentes dos retângulos semelhantes, combinada com a definição e as propriedades dos logaritmos, leva exatamente a $(x+10)^x = x^{x+10}$. Esta é a equação que, resolvida em $\mathbb{R}$, fornece o valor de $x$ que satisfaz a condição de semelhança.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A equação $x^{x+10} = x$ é incorreta. Ela sugere que o lado direito da equação correta seria simplesmente $x$, o que não faz sentido, pois a altura de R2 é $\log_{10}(x+10)$, e não $x$. A estrutura exponencial correta exige que o expoente $x+10$ apareça no logaritmando do lado direito.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A equação $x^{x+10} = x+10$ também é incorreta. Ela troca o lado direito da equação correta por $x+10$, o que não corresponde à altura de R2. A forma correta, como vimos, é $(x+10)^x = x^{x+10}$, onde ambos os lados são potências, e não uma potência igualada a um número simples.

Gabarito: letra C