Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2026
Matemática›Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu167266
Banca
VUNESP
Órgão
UNIVESP
Ano
2026
Cargo
Vest ( )
Heloisa deseja criar uma senha com 5 caracteres distintos, utilizando todas as 4 vogais de seu nome e um único algarismo. Desse modo, a senha deverá conter necessariamente as vogais {a, e, i, o}, além de terminar com um algarismo do conjunto {0, 1, ..., 9}. Nessas condições, o número de senhas distintas possíveis é
A240.
B216.
C180.
D150.
E120.
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GabaritoA — 240.
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Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a 240 senhas — alternativa A.
A ideia por trás
O princípio fundamental da contagem é a ferramenta para contar quantas combinações diferentes existem quando um processo acontece em etapas. Se a primeira etapa tem m possibilidades e a segunda tem n, o total é m × n. Aqui, montar a senha é um processo de duas etapas: escolher a ordem das vogais e escolher o algarismo final.
Quando temos n elementos distintos e queremos ordenar todos eles, o número de ordens possíveis é n! (fatorial), que é o produto de todos os números de n até 1. Por exemplo, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. A ordem importa porque cada sequência diferente gera uma senha diferente. Já a escolha do algarismo é independente: são 10 opções (0 a 9).
Esta questão cobra exatamente o princípio multiplicativo: primeiro permutar as 4 vogais nas 4 primeiras posições e depois escolher o algarismo final. A posição fixa do algarismo simplifica o problema, pois não precisamos considerar onde ele poderia estar.
O que a questão dá
senha com 5 caracteres distintos
4 vogais: a, e, i, o
1 algarismo de 0 a 9
senha termina com o algarismo
O que queremos: o número de senhas distintas possíveis
Passo 1 — Contar as ordens das vogais
A senha tem 5 posições, e as 4 vogais ocupam as 4 primeiras. Como as vogais são todas distintas e a ordem muda a senha, precisamos contar de quantas maneiras podemos ordenar esses 4 elementos. Isso é uma permutação.
Por que esta fórmula: Permutação de n elementos é n!, porque para a primeira posição temos n opções, para a segunda n-1, e assim por diante. Aqui n = 4.
De onde vem cada valor: = enunciado: 4 vogais {a, e, i, o}
NÃO CAIA NESSA!
Confundir com arranjo e usar 5 × 4 × 3 × 2, mas só temos 4 vogais para 4 posições.
Passo 2 — Contar as opções do algarismo final
A última posição é fixa para o algarismo. O enunciado diz que ele pode ser qualquer um de 0 a 9, então são 10 possibilidades. Essa etapa é independente da ordem das vogais.
Por que esta fórmula: Não há fórmula: é uma contagem direta do conjunto {0, 1, ..., 9}, que tem 10 elementos.
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer o 0 e contar apenas 9 algarismos, o que daria 216.
Passo 3 — Multiplicar as possibilidades das etapas
Pelo princípio fundamental da contagem, quando uma escolha não interfere na outra, o total é o produto. Aqui, cada ordem das vogais pode ser combinada com cada algarismo final.
Por que esta fórmula: O princípio multiplicativo diz que se a etapa 1 tem a possibilidades e a etapa 2 tem b, o total é a × b.
De onde vem cada valor: = passo 1: 24 · = passo 2: 10
NÃO CAIA NESSA!
Somar em vez de multiplicar: 24 + 10 = 34, o que não faz sentido aqui.