Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2026

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 12 maneiras — alternativa B.

A ideia por trás

A análise combinatória conta de quantas formas diferentes podemos organizar ou escolher elementos. O princípio fundamental da contagem diz que, se uma escolha pode ser feita em etapas sucessivas e independentes, o total de possibilidades é o produto das possibilidades de cada etapa. Aqui, as etapas são: escolher o banco de Bárbara, escolher o par de bancos consecutivos para Ana e Célia, e decidir quem fica em cada banco do par.

Quando as escolhas são independentes, multiplicamos as quantidades de opções de cada etapa. Mas atenção: se uma escolha interfere nas outras (como ocupar um banco que já está ocupado), precisamos separar em casos. A ordem entre pessoas distintas também importa: Ana e Célia são diferentes, então trocar quem senta em cada banco do par gera uma configuração nova.

Esta questão mistura o princípio multiplicativo com restrições que se sobrepõem: a posição de Bárbara elimina alguns pares de bancos consecutivos, e a condição de Célia ser ímpar fixa quem fica em cada banco do par. Precisamos separar em casos para não contar configurações impossíveis.

O que a questão dá

• 8 bancos numerados de 1 a 8

• Bárbara senta no banco 1 ou no banco 8

• Ana e Célia sentam em bancos consecutivos

• Célia ocupa banco ímpar

O que queremos: o número de maneiras distintas de as três ocuparem os bancos

Passo 1 — Listar os pares de bancos consecutivos

Ana e Célia precisam sentar em bancos consecutivos, então o primeiro passo é saber quais pares existem. Como os bancos vão de 1 a 8, os pares são (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7) e (7,8) — 7 pares no total.

Por que esta fórmula: Não há fórmula: é uma contagem direta. Cada par é formado por um banco e seu sucessor, então há 8−1 = 7 pares possíveis.

Passo 2 — Separar em casos conforme o banco de Bárbara

Bárbara ocupa uma extremidade, e isso tira um banco do conjunto disponível para Ana e Célia. Se ela senta no banco 1, o par (1,2) fica impossível; se senta no 8, o par (7,8) fica impossível. Como os dois casos são simétricos, contamos um e multiplicamos por 2.

Por que esta fórmula: Não é fórmula, é a estratégia de dividir o problema em casos mutuamente exclusivos. Cada caso tem o mesmo número de possibilidades, então o total é o dobro de um caso.

2 casos simétricos

Passo 3 — Contar os pares válidos em um caso

Com Bárbara no banco 1, o par (1,2) não pode ser usado. Restam os pares (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7) e (7,8) — 6 pares.

Por que esta fórmula: É uma subtração simples: dos 7 pares totais, retiramos o que usa o banco ocupado.

De onde vem cada valor: $7$ = passo 1: total de pares · $1$ = constante: o par que usa o banco 1

Passo 4 — Verificar a condição de Célia ser ímpar

Em cada par restante, precisamos garantir que Célia fique no banco ímpar. Nos pares (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7) e (7,8), o banco ímpar é sempre o segundo do par (3, 3, 5, 5, 7, 7). Como Célia deve ocupar o ímpar, ela fica no segundo banco e Ana no primeiro. Isso é possível em todos os 6 pares.

Por que esta fórmula: Não há fórmula: é uma análise de cada par. A condição fixa a posição de Célia, então não há escolha de ordem entre Ana e Célia.

6 maneiras para Ana e Célia em um caso

Passo 5 — Multiplicar pelos dois casos de Bárbara

Cada caso (Bárbara no 1 ou no 8) tem 6 maneiras de posicionar Ana e Célia. Como os casos são independentes e excludentes, somamos: 6 + 6 = 12.

Por que esta fórmula: O princípio aditivo: quando dividimos em casos que não se sobrepõem, o total é a soma das possibilidades de cada caso.

De onde vem cada valor: $6$ = passo 4: maneiras em um caso

Resposta: 12 maneiras — alternativa B