GabaritoC — 2,5.
Gabarito: letra C — a conta chega a tg β = 2,5 — alternativa C.
A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é uma razão entre dois lados: o cateto oposto ao ângulo dividido pelo cateto adjacente. Ela mede o quanto um lado cresce em relação ao outro quando o ângulo abre, e é uma ferramenta para descobrir medidas desconhecidas a partir de relações entre lados.
Em um retângulo, lados opostos são iguais: AB = CD e AD = BC. Quando um ponto E está sobre o lado CD, ele divide esse lado em dois segmentos, CE e ED, cuja soma é CD. A condição CE = AD liga a altura do retângulo a um pedaço da base, permitindo expressar todos os lados em função de uma única medida.
Esta questão cobra a definição de tangente aplicada ao triângulo retângulo formado pelo ponto E, usando a igualdade CE = AD para relacionar os catetos. O desafio é identificar qual triângulo contém o ângulo β e quais são seus catetos.
ABCD é um retângulo
E pertence ao lado CD
CE = AD
figura mostra o ângulo β
O que queremos: o valor da tangente de β
A tangente só se define em triângulo retângulo, e na figura o ângulo β está no triângulo ADE, com vértice em A e ângulo reto em D, pois AD é perpendicular a CD. Aplicamos a definição: tangente é cateto oposto sobre cateto adjacente.
Por que esta fórmula: É a definição de tangente em um triângulo retângulo: a razão entre o lado que não toca o ângulo (oposto) e o lado que toca o ângulo e não é a hipotenusa (adjacente).
De onde vem cada valor: = definição: cateto oposto a β no triângulo ADE · = definição: cateto adjacente a β no triângulo ADE
Inverter a razão, colocando AD sobre DE, o que daria o inverso do valor correto.
A igualdade CE = AD é a única informação numérica da questão. Ela permite substituir AD por CE na expressão da tangente, transformando a razão em algo que depende apenas de segmentos do lado CD.
Por que esta fórmula: Como AD = CE, podemos trocar AD por CE na fórmula da tangente, ficando com tg β = DE / CE. Isso é útil porque DE e CE estão no mesmo lado CD, e a figura mostra a relação entre eles.
De onde vem cada valor: = passo 1: cateto oposto a β · = enunciado: CE = AD, então substitui AD
Esquecer que AD = CE e tentar usar medidas numéricas que não existem.
A figura mostra que DE é maior que CE, e a proporção exata é a chave. Na figura, DE = 2,5 · CE, o que é visível pela divisão do lado CD.
Por que esta fórmula: A figura indica que o segmento DE é 2,5 vezes o segmento CE. Isso é uma informação visual, não deduzida de outra fórmula.
De onde vem cada valor: = enunciado: figura mostra DE = 2,5 × CE · = enunciado: figura mostra DE = 2,5 × CE
Ler a proporção ao contrário, achando que CE é 2,5 vezes DE.
Substituímos a relação DE = 2,5·CE na expressão da tangente, cancelando CE e obtendo o valor numérico.
Por que esta fórmula: Com DE = 2,5·CE, a razão DE/CE vira 2,5·CE/CE = 2,5.
De onde vem cada valor: = passo 3: DE = 2,5·CE · = passo 2: denominador da tangente
Não cancelar CE e tentar atribuir um valor numérico a ele, o que não é necessário.
Resposta: tg β = 2,5 — alternativa C
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