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Questão de Matemática — Outras Questões sobre Funções — VUNESP 2026

MatemáticaOutras Questões sobre Funções
Código
vu167277
Banca
VUNESP
Órgão
Humanitas
Ano
2026
Cargo
Vest Med ( )
Considere as funções reais definidas por f(x) = mx + 11 e g(x) = x^2 + nx - 7, em que m < 0 e n > 0 são constantes reais. Sabendo que f(m) = 15 e que g(m + n) = -3, o produto mn é igual a
  1. A3.
  2. B-2.
  3. C14.
  4. D-6.
  5. E21.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — -6.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a mn = -6, alternativa D.

A ideia por trás

Uma função afim é uma reta: para cada x, ela devolve mx + b, onde m é a inclinação e b é onde corta o eixo y. Uma função quadrática é uma parábola: para cada x, devolve ax² + bx + c. Aqui, os coeficientes m e n são números fixos, mas desconhecidos, e as condições do enunciado são pistas para descobri-los.

Quando escrevemos f(m), estamos substituindo a variável x pelo número m dentro da expressão de f. Isso transforma a função em uma equação com a incógnita m. O mesmo vale para g(m+n): substituímos x por m+n. Cada condição vira uma equação, e juntas formam um sistema que determina m e n. As restrições m < 0 e n > 0 servem para escolher, entre as soluções possíveis, aquela que faz sentido no problema.

Esta questão cobra exatamente essa substituição: aplicar as duas condições para montar um sistema, resolvê-lo e usar os sinais para descartar as raízes que não servem.

O que a questão dá

  • f(x) = mx + 11

  • g(x) = x^2 + nx - 7

  • m < 0

  • n > 0

  • f(m) = 15

  • g(m + n) = -3

O que queremos: o produto mn

Passo 1 — Substituir x por m em f(x)

A primeira condição f(m) = 15 diz o valor que a função afim assume quando a entrada é m. Para transformar isso em uma equação, trocamos cada x da expressão por m.

Por que esta fórmula: É a própria definição de f: f(x) = mx + 11, então f(m) = m·m + 11 = m² + 11.

m2+11=15m^{2} + 11 = 15

De onde vem cada valor: m2m^{2} = definição: f(x) = mx + 11, substituindo x por m · 1111 = constante: termo constante de f(x) · 1515 = enunciado: f(m) = 15

m2+11=15m^{2} + 11 = 15
m2=4m^{2} = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que m multiplica m e escrever f(m) = m·m + 11 como m + 11, perdendo o quadrado.

Passo 2 — Resolver a equação do segundo grau em m

A equação m² = 4 tem duas soluções, e precisamos das duas para depois aplicar a condição m < 0.

Por que esta fórmula: Se m² = 4, então m é a raiz quadrada de 4, que pode ser positiva ou negativa.

m=±4m = \pm \sqrt{4}

De onde vem cada valor: 44 = passo 1: m² = 4

m=±2m = \pm 2

m = 2 ou m = -2

NÃO CAIA NESSA!

Considerar apenas a raiz positiva e esquecer que -2 também satisfaz a equação.

Passo 3 — Escolher m pela condição m < 0

O enunciado garante que m é negativo, então entre 2 e -2 só o -2 serve. Essa escolha é obrigatória para o produto final dar certo.

m=−2m = \boxed{-2}
NÃO CAIA NESSA!

Ignorar a condição e usar m = 2, o que levaria a um produto diferente e errado.

Passo 4 — Substituir x por m+n em g(x)

A segunda condição g(m+n) = -3 relaciona m e n. Substituímos x por m+n na expressão de g para obter uma equação com as duas incógnitas.

Por que esta fórmula: É a definição de g: g(x) = x² + nx - 7, então g(m+n) = (m+n)² + n(m+n) - 7.

(m+n)2+n(m+n)−7=−3(m+n)^{2} + n(m+n) - 7 = -3

De onde vem cada valor: (m+n)2(m+n)^{2} = definição: g(x) = x² + nx - 7, substituindo x por m+n · n(m+n)n(m+n) = definição: g(x) = x² + nx - 7, substituindo x por m+n · −7-7 = constante: termo constante de g(x) · −3-3 = enunciado: g(m+n) = -3

(m+n)2+n(m+n)−7=−3(m+n)^{2} + n(m+n) - 7 = -3
(m+n)2+n(m+n)−4=0(m+n)^{2} + n(m+n) - 4 = \boxed{0}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar -7 e -3 corretamente, ou não expandir o quadrado.

Passo 5 — Substituir m por -2 na equação

Com m já conhecido, a equação do passo 4 fica só com a incógnita n. Substituímos -2 no lugar de m para poder resolver.

Por que esta fórmula: A equação do passo 4 vale para os m e n que procuramos; como m = -2, essa substituição é válida.

(−2+n)2+n(−2+n)−4=0(-2+n)^{2} + n(-2+n) - 4 = 0

De onde vem cada valor: −2-2 = passo 3: m = -2 · nn = definição: incógnita da equação · −4-4 = passo 4: constante -4

(−2+n)2+n(−2+n)−4=0(-2+n)^{2} + n(-2+n) - 4 = 0
2n2−6n=02n^{2} - 6n = \boxed{0}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a expansão de (-2+n)², esquecendo o termo -4n.

Passo 6 — Resolver a equação em n

A equação 2n² - 6n = 0 tem duas soluções; precisamos delas para aplicar a condição n > 0.

Por que esta fórmula: Colocando 2n em evidência, temos 2n(n - 3) = 0, então n = 0 ou n = 3.

2n(n−3)=02n(n - 3) = 0

De onde vem cada valor: 2n2n = definição: fator comum de 2n² e -6n · n−3n - 3 = definição: resultado da divisão de 2n² - 6n por 2n

2n(n−3)=02n(n - 3) = 0

n = 0 ou n = 3

NÃO CAIA NESSA!

Dividir tudo por 2n sem considerar que n pode ser zero, perdendo uma solução.

Passo 7 — Escolher n pela condição n > 0

O enunciado exige n positivo, então descartamos n = 0 e ficamos com n = 3.

n=3n = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Aceitar n = 0, o que daria produto zero e alternativa errada.

Passo 8 — Calcular o produto mn

Com m e n determinados, o produto pedido é uma simples multiplicação.

Por que esta fórmula: O produto de dois números é a multiplicação deles.

m⋅nm \cdot n

De onde vem cada valor: mm = passo 3: -2 · nn = passo 7: 3

(−2)⋅3=−6(-2) \cdot 3 = \boxed{-6}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar o sinal e escrever +6, ou multiplicar errado.

Resposta: mn = -6, alternativa D

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