Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2026

Geometria Analítica: área do triângulo formado por retas

Gabarito: letra D (k = –3). A reta $y = kx + 1$ corta o eixo y no ponto (0, 1) e a reta horizontal $y = -5$ no ponto de abscissa $x = -6/k$; o triângulo tem base vertical de comprimento 6 (de y = 1 até y = –5) e altura horizontal $|x| = 6/|k|$. Como a área é 6, temos $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{6}{|k|} = 6$, o que dá $|k| = 3$; pela figura, a reta é decrescente, logo $k = -3$.

Vamos entender o problema do zero. Temos duas retas: uma inclinada, $y = kx + 1$, e uma horizontal, $y = -5$. Juntas com o eixo y (a reta vertical $x = 0$), elas formam um triângulo. Para visualizar, imagine o eixo y como um dos lados do triângulo — ele vai do ponto onde a reta inclinada o corta até o ponto onde a reta horizontal o corta. A reta inclinada corta o eixo y quando $x = 0$, ou seja, em $y = k \cdot 0 + 1 = 1$. A reta horizontal $y = -5$ corta o eixo y em $y = -5$. Então, o lado sobre o eixo y tem comprimento de 1 até –5, que é 6 unidades.

Agora, o terceiro vértice do triângulo é onde as duas retas se encontram. Para achar esse ponto, igualamos as duas equações: $kx + 1 = -5$, o que dá $kx = -6$, logo $x = -6/k$. Esse valor de x é a distância horizontal do eixo y até o vértice — é a altura do triângulo em relação à base sobre o eixo y. Como a área de um triângulo é $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}$, temos:

O enunciado diz que a área é 6, então:

Portanto, $k = 3$ ou $k = -3$. A figura mostra a reta inclinada descendo da esquerda para a direita (decrescente), o que significa que o coeficiente angular $k$ é negativo. Logo, $k = -3$.

A pegadinha clássica aqui é esquecer o módulo: o candidato resolve $\frac{18}{k} = 6$ e encontra $k = 3$, mas a figura mostra que a reta é decrescente, então o sinal é negativo. Outra armadilha é confundir a base com a altura — a base é o segmento sobre o eixo y (comprimento 6) e a altura é a distância horizontal até o vértice ($|x|$), não o contrário.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$k = -1$ daria área $\frac{18}{1} = 18$, não 6. Esse valor não satisfaz a condição do problema.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$k = -4$ daria área $\frac{18}{4} = 4,5$, não 6. O candidato que erra o cálculo da área ou inverte base e altura pode chegar a esse número.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$k = -2$ daria área $\frac{18}{2} = 9$, não 6. É um distrator que vem de $\frac{18}{k} = 6$ com erro de conta.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, $|k| = 3$ e a figura mostra reta decrescente, então $k = -3$. A área confere: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{6}{3} = 6$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$k = -5$ daria área $\frac{18}{5} = 3,6$, não 6. Esse valor confunde o coeficiente angular com o termo independente da reta horizontal ($y = -5$).

Gabarito: letra D