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Questão de Matemática — Outras Questões sobre Ângulos — VUNESP 2026

MatemáticaOutras Questões sobre Ângulos
Código
vu167286
Banca
VUNESP
Órgão
UniCEUB
Ano
2026
Cargo
Vest Med ( )
Considere o retângulo ABCD e o triângulo DMN, com M e N pertencentes ao lado AB‾\overline{\text{AB}} do retângulo, DN = 2x e AD = AM = x, conforme mostra a figura.   Sabendo que MD^\hat{D}N = α\alpha e MN^\hat{N}D = β\beta, então 2β\beta - α\alpha é igual aImagem associada para resolução da questão
  1. A15º.
  2. B60º.
  3. C30º.
  4. D45º.
  5. E75º.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 45º.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 135° (não está nas alternativas; verificar se a interpretação está correta).

A ideia por trás

Em geometria plana, um retângulo tem quatro ângulos retos e lados opostos paralelos e iguais. Um triângulo isósceles tem dois lados iguais e, por isso, os dois ângulos opostos a esses lados também são iguais. Quando um triângulo é retângulo e isósceles, os dois ângulos agudos medem exatamente 45°.

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°. Além disso, em um retângulo, os lados opostos são paralelos, então ângulos formados por uma transversal com esses lados paralelos podem ser relacionados. Por exemplo, se uma reta cruza duas paralelas, os ângulos correspondentes são iguais.

Esta questão cobra a combinação dessas propriedades: primeiro identificar que o triângulo ADM é retângulo isósceles, o que fixa um ângulo de 45°, e depois usar a soma dos ângulos internos do triângulo DMN para achar β.

O que a questão dá

  • AD = AM = x

  • DN = 2x

  • M pertence a AB

  • N pertence a AB

  • ABCD é retângulo

O que queremos: o valor de 2β - α

Passo 1 — Reconhecer o triângulo ADM

O ponto M está sobre AB, e AD é perpendicular a AB, então o triângulo ADM tem um ângulo reto em A. Além disso, AD = AM = x, logo os dois catetos são iguais. Um triângulo retângulo com catetos iguais é isósceles, e seus ângulos agudos valem 45°.

Oa^nguloADM=45 ∘O ângulo A D M = \boxed{45\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que o triângulo ADM não é isósceles porque não se percebe que AD e AM são ambos x.

Passo 2 — Calcular o ângulo α

O ângulo A D N é um ângulo reto, pois AD é vertical e DN é horizontal (N está sobre AB, que é paralelo a DC). Esse ângulo reto é a soma do ângulo A D M (45°) com o ângulo M D N (α).

Por que esta fórmula: A relação é de soma de ângulos adjacentes: o ângulo total A D N é a soma das partes A D M e M D N.

AD^N=AD^M+MD^NA\hat{D}N = A\hat{D}M + M\hat{D}N

De onde vem cada valor: AD^NA\hat{D}N = enunciado: é um ângulo reto do retângulo, 90° · AD^MA\hat{D}M = passo 1: 45° · MD^NM\hat{D}N = definição: é o ângulo α

90°=45°+α90° = 45° + \alpha
α=45 ∘\alpha = \boxed{45\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Não perceber que A D N é reto, achando que α é 45° por outro motivo.

Passo 3 — Descobrir o ângulo D M N

Para usar a soma dos ângulos internos do triângulo DMN, precisamos do terceiro ângulo, D M N. Como M está sobre AB, que é horizontal, e AD é vertical, o ângulo entre DM e a horizontal é o complemento do ângulo entre DM e a vertical (que é A D M = 45°).

Por que esta fórmula: Em um triângulo retângulo, os ângulos agudos são complementares, ou seja, somam 90°. O ângulo entre DM e a horizontal é o complemento do ângulo entre DM e a vertical.

DM^N=90°−AD^MD\hat{M}N = 90° - A\hat{D}M

De onde vem cada valor: AD^MA\hat{D}M = passo 1: 45°

DM^N=90°−45°D\hat{M}N = 90° - 45°
DMN=45 ∘D M N = \boxed{45\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o ângulo D M N com o ângulo A M D, que é o ângulo do triângulo ADM no vértice M.

Passo 4 — Calcular o ângulo β

Agora temos dois ângulos do triângulo DMN: α = 45° e D M N = 45°. A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, então podemos achar β.

Por que esta fórmula: A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°.

α+β+DM^N=180°\alpha + \beta + D\hat{M}N = 180°

De onde vem cada valor: α\alpha = passo 2: 45° · DM^ND\hat{M}N = passo 3: 45°

45°+β+45°=180°45° + \beta + 45° = 180°
β=90 ∘\beta = \boxed{90\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que β é 45° por simetria, sem fazer a conta.

Passo 5 — Calcular 2β - α

Com α e β conhecidos, basta substituir na expressão pedida.

Por que esta fórmula: É uma simples substituição aritmética.

2β−α2\beta - \alpha

De onde vem cada valor: β\beta = passo 4: 90° · α\alpha = passo 2: 45°

2×90°−45°=135 ∘2 \times 90° - 45° = \boxed{135\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a ordem das operações, fazendo 2×(90-45) = 90°.

Resposta: 135° (não está nas alternativas; verificar se a interpretação está correta)

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