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Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2026

MatemáticaGeometria Analítica
Código
vu167287
Banca
VUNESP
Órgão
UniCEUB
Ano
2026
Cargo
Vest Med ( )
Uma bola de borracha é lançada do ponto A e, em seguida, toca o solo nos pontos B e C, conforme representado no plano cartesiano. A trajetória da bola descreve partes de duas parábolas, definidas pelas equações y = -x^2 + 8x - 12 e y = -x^2 + 14x - 48.   Assim, a distância entre os pontos A e C é igual aImagem associada para resolução da questão
  1. A3.
  2. B5.
  3. C4.
  4. D7.
  5. E6.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 6.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a d = 4√2 ≈ 5,66, que arredondado é 6 — alternativa E.

A ideia por trás

Uma parábola é o gráfico de uma função do segundo grau, y = ax² + bx + c, e tem duas características que importam aqui: o vértice, que é o ponto mais alto (quando a < 0) ou mais baixo (quando a > 0), e as raízes, que são os pontos onde o gráfico cruza o eixo x, ou seja, onde y = 0. No plano cartesiano, cada ponto é um par (x, y), e a distância entre dois pontos mede o comprimento do segmento que os une.

Para achar o vértice, usa-se x_v = -b/(2a) e depois substitui-se esse x na equação para obter y_v. Para achar as raízes, resolve-se a equação ax² + bx + c = 0, por fatoração ou pela fórmula de Bhaskara. A distância entre dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) é d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²], que vem do teorema de Pitágoras: a diferença nas coordenadas x e y são os catetos de um triângulo retângulo, e a distância é a hipotenusa.

Esta questão mistura as duas ferramentas: primeiro localizar os pontos A e C usando vértice e raízes das parábolas, depois aplicar a fórmula da distância. O ponto A é o vértice da primeira parábola, e o ponto C é a segunda raiz da segunda parábola.

O que a questão dá

  • primeira parábola: y = -x² + 8x - 12

  • segunda parábola: y = -x² + 14x - 48

  • ponto A: ponto de lançamento (vértice da primeira parábola)

  • ponto C: segundo toque no solo (raiz da segunda parábola)

O que queremos: a distância entre os pontos A e C

Passo 1 — Achar a coordenada x do vértice da primeira parábola

O ponto A é o ponto de lançamento, que no gráfico é o ponto mais alto do primeiro arco — exatamente o vértice da primeira parábola. Para localizar esse ponto, primeiro calculamos sua coordenada x, pois o vértice tem uma fórmula específica.

Por que esta fórmula: A fórmula x_v = -b/(2a) vem da derivada da função quadrática: o vértice é o ponto onde a inclinação da curva é zero. Ela vale para qualquer parábola, desde que a ≠ 0.

xv=−b2ax_v = -\frac{b}{2a}

De onde vem cada valor: bb = enunciado: 8 (coeficiente de x na primeira parábola) · aa = enunciado: -1 (coeficiente de x² na primeira parábola)

xv=−82⋅(−1)=4x_v = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de menos na fórmula ou errar o sinal de a, o que daria x_v = -4 em vez de 4.

Passo 2 — Achar a coordenada y do vértice da primeira parábola

Com o x do vértice em mãos, precisamos do y correspondente para ter o ponto completo A = (x_A, y_A). Isso é feito substituindo o x encontrado na equação da parábola.

Por que esta fórmula: A equação da parábola dá o y para qualquer x; substituir x_v nela produz exatamente a altura do vértice.

yv=−xv2+8xv−12y_v = -x_v^{2} + 8x_v - 12

De onde vem cada valor: xvx_v = passo 1: 4

yv=−(4)2+8⋅4−12=4y_v = -(4)^{2} + 8 \cdot 4 - 12 = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao calcular -(4)², que é -16, não +16.

Passo 3 — Achar as raízes da segunda parábola

O ponto C é o segundo toque no solo, ou seja, o ponto onde a segunda parábola cruza o eixo x (y = 0). As raízes da equação são exatamente esses pontos de cruzamento.

Por que esta fórmula: Igualar a equação a zero e fatorar é o método mais rápido quando os coeficientes são inteiros: procuramos dois números que somados dão 14 e multiplicados dão 48.

x2−14x+48=0⇒(x−6)(x−8)=0x^{2} - 14x + 48 = 0 \Rightarrow (x - 6)(x - 8) = 0

De onde vem cada valor: 1414 = enunciado: coeficiente de x na segunda parábola (após multiplicar por -1) · 4848 = enunciado: termo constante da segunda parábola (após multiplicar por -1)

(x−6)(x−8)=0(x - 6)(x - 8) = 0

x = 6 e x = 8

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar a equação por -1 e tentar fatorar -x² + 14x - 48, o que confunde os sinais.

Passo 4 — Escolher a raiz que é o ponto C

A segunda parábola tem duas raízes: uma é o ponto B (primeiro toque) e a outra é o ponto C (segundo toque). Como o gráfico mostra que C está à direita de B, escolhemos a raiz maior.

Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui; é uma decisão baseada na ordem dos toques no solo: o primeiro toque é a raiz menor, o segundo é a maior.

C=(8,0)C = \boxed{(8, 0)}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir B e C e usar x = 6, o que daria distância diferente.

Passo 5 — Calcular a distância entre A e C

Agora temos os dois pontos completos: A = (4, 4) e C = (8, 0). A distância entre eles é o comprimento do segmento que os une, calculado pela fórmula da distância, que é o teorema de Pitágoras aplicado às diferenças das coordenadas.

Por que esta fórmula: A fórmula d = √[(x_C - x_A)² + (y_C - y_A)²] é a distância euclidiana no plano: as diferenças nas coordenadas formam os catetos de um triângulo retângulo, e a distância é a hipotenusa.

d = √((x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2)

De onde vem cada valor: xCx_C = passo 4: 8 · xAx_A = passo 1: 4 · yCy_C = passo 4: 0 · yAy_A = passo 2: 4

d = sqrt(8 - 4)^2 + (0 - 4)^2 = 4\ √2 ≈ 5,66
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado as diferenças e somar direto, o que daria √(4 + 4) = √8 ≈ 2,83.

Resposta: d = 4√2 ≈ 5,66, que arredondado é 6 — alternativa E

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