Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2026
Matemática›Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu167307
Banca
VUNESP
Órgão
UNISA
Ano
2026
Cargo
Vest Med ( )
Em uma solenidade de formatura escolar, 8 pessoas discursarão, entre elas a diretora da escola, a professora homenageada e um representante dos alunos. Os discursos devem ocorrer em sequência, de modo que a diretora seja a primeira a falar, a professora homenageada seja a segunda ou a terceira, e o representante dos alunos não seja o último. Nessas condições, de quantas maneiras distintas o cerimonial de formatura pode estabelecer a ordem em que essas 8 pessoas discursarão?
A720.
B1 260.
C1 440.
D1 200.
E960.
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GabaritoD — 1 200.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a 1.200 maneiras — alternativa D.
A ideia por trás
O princípio fundamental da contagem (PFC) é a ideia de que, se uma escolha tem m possibilidades e, depois dela, outra tem n, o total de combinações é m × n. Ele serve para contar sequências, como a ordem de discursos, onde cada posição é uma decisão. Quando há restrições, a estratégia é fixar primeiro quem tem posição definida e depois contar as opções dos demais.
A relação central é o produto das quantidades de escolha de cada etapa. Por exemplo, se a diretora ocupa a 1ª posição (1 modo), a professora tem 2 opções (2ª ou 3ª), e para cada uma o representante tem um número de posições possíveis, multiplicamos esses números e também a permutação dos restantes (5! = 120). A ordem importa, então usamos permutação, não combinação.
Esta questão exige aplicar o PFC com restrições de posição: fixar a diretora, escolher a posição da professora, contar as opções do representante e permutar os demais. O detalhe é que o número de posições do representante depende de onde a professora foi colocada, então dividimos em casos.
O que a questão dá
8 pessoas discursarão
diretora deve ser a 1ª a falar
professora homenageada deve ser a 2ª ou a 3ª
representante dos alunos não pode ser o último
O que queremos: o número de maneiras distintas de ordenar os discursos
Passo 1 — Fixar a diretora na primeira posição
A diretora tem posição fixa: ela fala primeiro. Isso reduz o problema de 8 posições para 7, pois a 1ª já está ocupada. Fixar primeiro os elementos com posição definida simplifica a contagem.
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que a diretora já está fixa e contar 8! no final.
Passo 2 — Escolher a posição da professora
A professora pode ser a 2ª ou a 3ª. Essas duas opções levam a contagens diferentes para o representante, então precisamos separar em casos.
NÃO CAIA NESSA!
Tratar os dois casos como idênticos sem perceber que a posição do representante muda.
Passo 3 — Contar as posições do representante no caso 1
No caso 1, a professora está na 2ª posição. Restam as posições 3ª a 8ª para 6 pessoas, incluindo o representante. Como ele não pode ser o último (8ª), ele pode ocupar qualquer uma das 5 posições restantes (3ª a 7ª).
NÃO CAIA NESSA!
Contar 6 posições, esquecendo que a 8ª está proibida.
Passo 4 — Permutar os outros cinco oradores no caso 1
Depois de fixar diretora, professora e representante, restam 5 pessoas que podem falar em qualquer ordem nas 5 posições que sobraram. O número de ordens é a permutação de 5 elementos.
Por que esta fórmula: Permutação de n elementos é n!, pois cada posição pode ser preenchida por qualquer um dos restantes.
De onde vem cada valor: = passo 3: restam 5 pessoas após fixar diretora, professora e representante
NÃO CAIA NESSA!
Usar arranjo ou combinação em vez de permutação, pois a ordem importa.
Passo 5 — Calcular o total do caso 1
Pelo PFC, multiplicamos as escolhas de cada etapa: 1 (diretora) × 1 (professora na 2ª) × 5 (posições do representante) × 120 (permutação dos demais).
Por que esta fórmula: O PFC diz que o total é o produto das quantidades de cada decisão independente.
De onde vem cada valor: = passo 1: diretora fixa na 1ª posição · = passo 3: posições possíveis para o representante · = passo 4: permutação dos 5 restantes
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar por 120 ou contar o representante como fixo sem permutar os demais.
Passo 6 — Repetir para o caso 2
No caso 2, a professora está na 3ª posição. Restam as posições 2ª, 4ª, 5ª, 6ª, 7ª e 8ª para 6 pessoas. O representante não pode ser o último, então ele pode ocupar 5 posições (2ª, 4ª, 5ª, 6ª, 7ª). Os outros 5 permutam livremente.
De onde vem cada valor: = passo 1: diretora fixa na 1ª posição · = passo 3: posições possíveis para o representante (mesma contagem do caso 1) · = passo 4: permutação dos 5 restantes
NÃO CAIA NESSA!
Achar que o caso 2 tem 6 posições para o representante, esquecendo a proibição da última.
Passo 7 — Somar os dois casos
Os casos são mutuamente exclusivos (a professora não pode estar na 2ª e na 3ª ao mesmo tempo), então o total é a soma das contagens de cada caso.
Por que esta fórmula: Quando dividimos em casos disjuntos, somamos os resultados.
De onde vem cada valor: = passo 5 e passo 6
NÃO CAIA NESSA!
Multiplicar os casos em vez de somar, o que daria 360.000.