Matemática · VUNESP · 2026 | Questão sqc-vu167315

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a Empresa A: 10 equipes; Empresa B: 60 equipes — alternativa D.

A ideia por trás

A análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas maneiras podemos escolher ou organizar elementos de um conjunto. A grande dificuldade está em saber se a ordem dos escolhidos altera o resultado: quando a ordem não importa, usamos combinação; quando importa, usamos arranjo.

A combinação simples conta escolhas em que a ordem não faz diferença: C(n,p) = n! / [p!(n-p)!]. O arranjo simples conta escolhas em que a ordem importa: A(n,p) = n! / (n-p)!. A diferença está no denominador: na combinação dividimos por p! para eliminar as reordenações; no arranjo não dividimos, pois cada ordem é uma equipe distinta.

Esta questão cobra exatamente essa distinção: na empresa A as funções são iguais (ordem não importa → combinação), na empresa B as funções são diferentes (ordem importa → arranjo).

O que a questão dá

empresa A: 5 funcionários, escolher 3, funções iguais
empresa B: 5 funcionários, escolher 3, funções diferentes

O que queremos: o número de equipes diferentes que cada empresa pode montar

Passo 1 — Contar as equipes da empresa A

Na empresa A, os 3 escolhidos terão a mesma função, então escolher Ana, Bruno e Carlos é o mesmo que escolher Bruno, Carlos e Ana. A ordem não altera a equipe, por isso usamos combinação.

Por que esta fórmula: A combinação simples C(n,p) conta grupos em que a ordem não importa. Aqui n=5 e p=3.

C_{5,3} = \frac{5!}{3!(5-3)!}

De onde vem cada valor: $5$ = enunciado: 5 funcionários · $3$ = enunciado: escolher 3

C_{5,3} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10 = \boxed{10\ \text{equipes}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo (5×4×3=60) porque pensou que escolher 3 de 5 sempre é arranjo — mas como as funções são iguais, a ordem não importa.

Passo 2 — Contar as equipes da empresa B

Na empresa B, cada funcionário terá uma função diferente, então escolher Ana para coordenadora, Bruno para assistente e Carlos para analista é diferente de trocar os papéis. A ordem importa, por isso usamos arranjo.

Por que esta fórmula: O arranjo simples A(n,p) conta sequências em que a ordem importa. Aqui n=5 e p=3.

A_{5,3} = \frac{5!}{(5-3)!}

De onde vem cada valor: $5$ = enunciado: 5 funcionários · $3$ = enunciado: escolher 3

A_{5,3} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60 = \boxed{60\ \text{equipes}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar combinação (10) porque esqueceu que funções diferentes tornam cada ordem uma equipe distinta.

Resposta: Empresa A: 10 equipes; Empresa B: 60 equipes — alternativa D