Matemática · VUNESP · 2026 | Questão sqc-vu167318

Sistemas lineares: classificação e interpretação gráfica

Gabarito: letra E — o sistema possível e indeterminado é o Sistema 2, e sua representação gráfica é o gráfico B (duas retas coincidentes). Um sistema é possível e indeterminado quando possui infinitas soluções, o que ocorre quando as equações são múltiplas uma da outra — exatamente o caso do Sistema 2, em que a segunda equação é a primeira multiplicada por 3.

Para entender por que o Sistema 2 é o indeterminado, precisamos revisar a classificação dos sistemas lineares. Um sistema linear é um conjunto de equações que devem ser satisfeitas simultaneamente. Ele pode ser:

Possível e determinado (SPD): admite uma única solução. Graficamente, as retas se cruzam em um único ponto.
Possível e indeterminado (SPI): admite infinitas soluções. Graficamente, as retas são coincidentes (uma sobre a outra).
Impossível (SI): não admite solução. Graficamente, as retas são paralelas e distintas.

Vamos analisar cada sistema:

Sistema 1: $\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 2 \end{cases}$

As equações têm coeficientes diferentes e não são múltiplas entre si. Resolvendo, encontramos uma única solução: somando as equações, $2x = 12 \Rightarrow x = 6$ e $y = 4$ . É um SPD — as retas se cruzam em um ponto.

Sistema 2: $\begin{cases} x + y = 10 \\ 3x + 3y = 30 \end{cases}$

A segunda equação é exatamente a primeira multiplicada por 3: $3(x + y) = 3 \cdot 10 \Rightarrow 3x + 3y = 30$ . As duas equações representam a mesma reta. Qualquer par $(x, y)$ que satisfaça $x + y = 10$ também satisfaz a segunda equação. Há infinitas soluções — é um SPI.

Sistema 3: $\begin{cases} x + y = 10 \\ 2x + 2y = 15 \end{cases}$

A segunda equação é a primeira multiplicada por 2 no lado esquerdo ( $2x + 2y$ ), mas o lado direito não acompanha ( $15 \neq 20$ ). As retas são paralelas e distintas — não há ponto de interseção. É um SI.

Agora, a interpretação gráfica: cada equação linear com duas incógnitas representa uma reta no plano cartesiano. O gráfico de um sistema é a representação das retas de todas as equações. Para o SPI, as retas são coincidentes — visualmente, aparece uma única reta (ou duas retas sobrepostas). Para o SPD, duas retas que se cruzam. Para o SI, duas retas paralelas.

A questão apresenta três gráficos (A, B e C) e pede para associar o sistema indeterminado ao seu gráfico. O gráfico que mostra duas retas coincidentes (ou uma única reta) é o gráfico B. Portanto, a resposta correta é sistema 2 – gráfico B.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre sistema indeterminado e sistema impossível. No Sistema 3, as equações parecem múltiplas ( $2x + 2y$ ), mas o termo independente não acompanha ( $15$ em vez de $20$ ), tornando-o impossível (retas paralelas), não indeterminado. Já no Sistema 2, a segunda equação é múltipla exata da primeira, gerando infinitas soluções (retas coincidentes). Fique atento: a condição para indeterminação é que todos os coeficientes e o termo independente sejam proporcionais.

Classificação de sistemas lineares — só Sistema 1: SPD; só Sistema 2: SPI; só Sistema 3: SI; Sistema 1∩Sistema 2: 0; Sistema 1∩Sistema 3: 0; Sistema 2∩Sistema 3: 0; Sistema 1∩Sistema 2∩Sistema 3: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o sistema 3 é indeterminado. O Sistema 3 é impossível (SI), pois as retas são paralelas e distintas: $2x + 2y = 15$ não é múltiplo de $x + y = 10$ (o lado esquerdo é o dobro, mas o direito não). Não há solução.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Associa o sistema 2 ao gráfico A. O sistema 2 é indeterminado, mas o gráfico A representa retas que se cruzam (SPD) ou paralelas (SI) — não coincidentes. O gráfico correto para o SPI é o B.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Associa o sistema 2 ao gráfico C. O gráfico C não representa retas coincidentes; representa retas que se cruzam ou são paralelas. O sistema 2, indeterminado, exige retas sobrepostas (gráfico B).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o sistema 3 é indeterminado e o associa ao gráfico A. O Sistema 3 é impossível, não indeterminado. Além disso, o gráfico A não representa retas coincidentes.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O Sistema 2 é possível e indeterminado (infinitas soluções), pois a segunda equação é múltipla da primeira. Graficamente, isso corresponde a duas retas coincidentes, representadas no gráfico B.

Gabarito: letra E