Uma biblioteca adquiriu um total de 250 unidades de três livros P, Q e R. Adicionadas as quantidades de exemplares dos livros P e R, tem-se 150 livros, sendo que a quantidade de exemplares do livro P é 20 unidades maior que a quantidade de exemplares do livro R. Se essa biblioteca pagou o preço unitário de R$ 20,00, R$ 30,00 e R$ 50,00 nos livros P, Q e R, respectivamente, o valor total pago na compra das 250 unidades desses livros foi igual a
AR$ 6.150,00.
BR$ 6.850,00.
CR$ 7.050,00.
DR$ 7.950,00.
ER$ 8.550,00.
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GabaritoD — R$ 7.950,00.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a R$ 7.950,00 — alternativa D.
A ideia por trás
Este problema trata de quantidades desconhecidas que precisam ser descobertas a partir de relações entre elas. Quando temos mais de uma incógnita e algumas equações que as relacionam, montamos um sistema de equações — um conjunto de equações que valem ao mesmo tempo. Resolver o sistema é encontrar os valores que satisfazem todas as equações de uma vez.
Aqui, as relações são dadas em palavras: o total de livros é a soma das quantidades de P, Q e R; a soma de P e R é 150; e P tem 20 a mais que R. Cada frase vira uma equação. Depois de achar as quantidades, o custo total é a soma de cada quantidade multiplicada pelo seu preço unitário — uma multiplicação e uma soma simples.
Esta questão cobra exatamente isso: montar o sistema a partir das frases, resolvê-lo para achar P, Q e R, e então calcular o custo total. O passo mais delicado é traduzir 'P tem 20 unidades a mais que R' na equação correta.
O que a questão dá
total de livros = 250
P + R = 150
P = R + 20
preço de P = R$ 20,00
preço de Q = R$ 30,00
preço de R = R$ 50,00
O que queremos: o valor total pago na compra das 250 unidades
Passo 1 — Montar as equações do sistema
Antes de qualquer conta, precisamos transformar as frases do enunciado em equações. Cada frase vira uma linha do sistema, e é isso que nos permite trabalhar com as quantidades desconhecidas.
Por que esta fórmula: A primeira frase 'total de 250 unidades' vira P + Q + R = 250. A segunda 'P e R somam 150' vira P + R = 150. A terceira 'P é 20 unidades maior que R' vira P = R + 20. Essas são as três equações que descrevem o problema.
De onde vem cada valor: = enunciado: total de 250 unidades · = enunciado: P e R somam 150 · = enunciado: P é 20 unidades maior que R
NÃO CAIA NESSA!
Inverter a relação: escrever R = P + 20 em vez de P = R + 20. Isso troca os valores de P e R e muda o custo final.
Passo 2 — Descobrir a quantidade de Q
Temos três incógnitas e três equações. A segunda equação já nos dá P + R, então podemos substituí-la na primeira para achar Q diretamente, sem precisar de P ou R ainda.
Por que esta fórmula: Na equação P + Q + R = 250, o termo P + R aparece junto. Como sabemos que P + R = 150, trocamos esse pedaço por 150, ficando 150 + Q = 250. Isolando Q, temos Q = 250 - 150.
De onde vem cada valor: = enunciado: total de livros · = passo 1: P + R = 150
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de subtrair e achar Q = 250, ignorando a informação de P + R.
Passo 3 — Descobrir as quantidades de P e R
Já temos Q, mas ainda faltam P e R. Temos duas equações que as relacionam: P + R = 150 e P = R + 20. Vamos substituir uma na outra para achar R primeiro.
Por que esta fórmula: Na equação P + R = 150, trocamos P por R + 20 (da outra equação). Fica (R + 20) + R = 150, que é 2R + 20 = 150. Isolando R, temos 2R = 130 e R = 65. Depois, com P = R + 20, achamos P = 85.
De onde vem cada valor: = passo 1: equação do sistema · = passo 1: equação do sistema
R = 65, P = 85
NÃO CAIA NESSA!
Errar a soma: (R + 20) + R = 150 → 2R + 20 = 150, e não 2R = 150 - 20 = 130. Quem esquece de subtrair 20 antes de dividir acha R = 75.
Passo 4 — Calcular o custo de cada livro
Agora que sabemos quantos exemplares de cada livro foram comprados, podemos calcular quanto a biblioteca gastou em cada tipo. Basta multiplicar a quantidade pelo preço unitário.
Por que esta fórmula: O custo de um tipo de livro é quantidade × preço unitário. Para P: 85 × 20; para Q: 100 × 30; para R: 65 × 50.
De onde vem cada valor: = passo 3: 85 · = passo 2: 100 · = passo 3: 65 · = enunciado: preços unitários
= P: R$ 1.700,00; Q: R$ 3.000,00; R: R$ 3.250,00
NÃO CAIA NESSA!
Trocar os preços: usar 50 para P e 20 para R, por exemplo. Isso dá um total diferente.
Passo 5 — Somar os custos para achar o total
O valor total pago é a soma do que foi gasto com cada livro. Com os custos individuais calculados, basta somá-los.
Por que esta fórmula: O total é a soma dos custos de P, Q e R.
De onde vem cada valor: = passo 4: R$ 1.700,00 · = passo 4: R$ 3.000,00 · = passo 4: R$ 3.250,00
= R$ 7.950,00
NÃO CAIA NESSA!
Errar a soma: 1700 + 3000 = 4700, e 4700 + 3250 = 7950. Quem soma 1700 + 3000 + 3250 = 7950, mas se esquecer de um dos custos, o total fica errado.