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Questão de Matemática — Geral — VUNESP 2026

MatemáticaGeral
Código
vu167457
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Osasco
Ano
2026
Cargo
Ag DC ( )
Uma doação arrecadou 180 cédulas de R$ 20,00 e 420 cédulas de R$ 10,00. Todo esse dinheiro doado será dividido, para posterior distribuição para famílias carentes, em envelopes contendo, cada um, uma quantidade x de cédulas de R$ 20,00 e uma quantidade y de cédulas de R$ 10,00, de modo a não sobrar cédula fora de um envelope.   Supondo-se que se deseja formar o maior número possível de envelopes com essas condições, então cada envelope conterá o valor total de
  1. AR$ 110,00.
  2. BR$ 120,00.
  3. CR$ 130,00.
  4. DR$ 150,00.
  5. ER$ 180,00.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — R$ 130,00.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a R$ 130,00 — alternativa C.

A ideia por trás

O máximo divisor comum (MDC) entre dois números é o maior número que divide os dois ao mesmo tempo, sem deixar resto. Ele serve para repartir quantidades em grupos iguais do maior tamanho possível: se temos 180 cédulas de um tipo e 420 de outro, o MDC dessas quantidades é o número máximo de envelopes que conseguimos montar com a mesma composição em cada um.

Para achar o MDC, fatoramos cada número em primos e multiplicamos os fatores comuns com os menores expoentes. Por exemplo, 180 = 2² × 3² × 5 e 420 = 2² × 3 × 5 × 7; os fatores comuns são 2², 3 e 5, então MDC = 2² × 3 × 5 = 60. Esse número é o maior divisor comum, e dividir as quantidades por ele dá quantas cédulas de cada tipo vão em cada envelope.

A questão pede o maior número de envelopes iguais sem sobrar cédula, então precisamos calcular o MDC das quantidades de cédulas (180 e 420), não dos valores das cédulas. Depois, montamos o envelope com as quantidades obtidas e calculamos o valor total.

O que a questão dá

  • 180 cédulas de R$ 20,00

  • 420 cédulas de R$ 10,00

O que queremos: o valor total em dinheiro de cada envelope, quando se forma o maior número possível de envelopes sem sobrar cédula

Passo 1 — Fatorar 180 em primos

Para achar o MDC, precisamos da decomposição em fatores primos de cada quantidade. Isso mostra quais fatores são comuns e com quais expoentes.

Por que esta fórmula: Fatorar é dividir o número pelos menores primos possíveis até chegar a 1. 180 = 2 × 90 = 2 × 2 × 45 = 2 × 2 × 3 × 15 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5.

180=22×32×5180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5

De onde vem cada valor: 180180 = enunciado: 180 cédulas de R$ 20,00

180=2×2×3×3×5=2 2×32×5180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = \boxed{2\ ^{2} \times 3^{2} \times 5}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o fator 5, achando que 180 = 2² × 3², o que daria MDC errado.

Passo 2 — Fatorar 420 em primos

Precisamos da fatoração do segundo número para comparar com a do primeiro e extrair os fatores comuns.

Por que esta fórmula: 420 = 2 × 210 = 2 × 2 × 105 = 2 × 2 × 3 × 35 = 2 × 2 × 3 × 5 × 7.

420=22×3×5×7420 = 2^{2} \times 3 \times 5 \times 7

De onde vem cada valor: 420420 = enunciado: 420 cédulas de R$ 10,00

420=2×2×3×5×7=2 2×3×5×7420 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 7 = \boxed{2\ ^{2} \times 3 \times 5 \times 7}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o fator 7, o que não afeta o MDC, mas mostra descuido na fatoração.

Passo 3 — Calcular o MDC de 180 e 420

Com as fatorações em mãos, o MDC é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes. Esse número será a quantidade de envelopes.

Por que esta fórmula: O MDC é o maior número que divide ambos; na fatoração, pegamos os primos que aparecem nas duas e o menor expoente de cada um.

MDC(180,420)=22×3×5MDC(180, 420) = 2^{2} \times 3 \times 5

De onde vem cada valor: 222^{2} = passo 1 e passo 2: fator comum com menor expoente 2 · 33 = passo 1 e passo 2: fator comum com menor expoente 1 · 55 = passo 1 e passo 2: fator comum com expoente 1

MDC=4×3×5=60MDC = 4 \times 3 \times 5 = \boxed{60}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o maior expoente em vez do menor, o que daria 2² × 3² × 5 = 180, número errado de envelopes.

Passo 4 — Dividir as quantidades pelo MDC

O MDC é o número de envelopes; dividindo a quantidade de cada tipo de cédula por ele, obtemos quantas cédulas de cada valor vão em cada envelope.

Por que esta fórmula: Se temos 180 cédulas de R$ 20,00 e 60 envelopes, cada envelope recebe 180 ÷ 60 = 3 cédulas de R$ 20,00. Analogamente para as de R$ 10,00.

x=18060,y=42060x = \frac{180}{60}, \quad y = \frac{420}{60}

De onde vem cada valor: 180180 = enunciado: 180 cédulas de R$ 20,00 · 420420 = enunciado: 420 cédulas de R$ 10,00 · 6060 = passo 3: MDC

x=18060=3,y=42060=7x = \frac{180}{60} = 3, \quad y = \frac{420}{60} = 7

xx = 3 cédulas de R$ 20,00 e 7 cédulas de R$ 10,00 por envelope

NÃO CAIA NESSA!

Dividir os valores das cédulas (20 e 10) pelo MDC, em vez das quantidades, o que não faz sentido.

Passo 5 — Calcular o valor total de cada envelope

Agora que sabemos quantas cédulas de cada valor vão em cada envelope, multiplicamos cada quantidade pelo valor da cédula e somamos para obter o total em dinheiro.

Por que esta fórmula: O valor total é a soma dos produtos: quantidade de cédulas de R$ 20,00 vezes 20 mais quantidade de cédulas de R$ 10,00 vezes 10.

V=3×20+7×10V = 3 \times 20 + 7 \times 10

De onde vem cada valor: 33 = passo 4: cédulas de R$ 20,00 por envelope · 2020 = enunciado: valor da cédula de R$ 20,00 · 77 = passo 4: cédulas de R$ 10,00 por envelope · 1010 = enunciado: valor da cédula de R$ 10,00

V=3×20+7×10=60+70V = 3 \times 20 + 7 \times 10 = 60 + 70

VV = R$ 130,00

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar as cédulas pelos valores, somando apenas 3 + 7 = 10, o que não é dinheiro.

Resposta: R$ 130,00 — alternativa C

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