Quatro amigos, Francisco, Geraldo, Hélio e Ítalo, foram juntos a uma loja comprar produtos e, em alguns casos, devolver produtos comprados anteriormente, mas que não gostaram. Francisco comprou uma unidade de cada um dos produtos: P, Q, R e S e pagou R$ 114,00 por eles. Geraldo comprou uma unidade de cada um dos produtos Q e S e devolveu uma unidade do produto T; o valor do produto T foi descontado do valor da compra e Geraldo só precisou pagar R$ 59,00. Hélio comprou uma unidade de cada um dos produtos R e T e devolveu uma unidade do produto V; o valor do produto V foi descontado do valor da compra e Hélio só precisou pagar R$ 14,00. Ítalo comprou duas unidades de cada um dos produtos P e V e pagou, ao todo,
AR$ 93,00.
BR$ 82,00.
CR$ 60,00.
DR$ 55,00.
ER$ 41,00.
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GabaritoB — R$ 82,00.
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a R$ 82,00 — alternativa B.
A ideia por trás
Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações que relacionam várias incógnitas (aqui, os preços dos produtos). Cada equação representa uma condição do problema, e a solução é o conjunto de valores que satisfaz todas elas ao mesmo tempo. Neste caso, temos 6 incógnitas (preços de P, Q, R, S, T, V) e apenas 3 equações, o que significa que não dá para achar cada preço individualmente, mas ainda é possível combinar as equações para descobrir uma expressão específica.
A ideia central é que, ao somar ou subtrair equações, obtemos novas equações que também são verdadeiras. Isso permite eliminar variáveis e isolar a combinação desejada. Por exemplo, se temos A + B = 10 e A - B = 4, somando as duas obtemos 2A = 14, logo A = 7. Aqui, vamos combinar as equações para achar p + v, sem precisar de p e v separadamente.
Esta questão cobra exatamente essa habilidade: combinar as equações dadas para extrair a expressão 2P + 2V, sem resolver o sistema completo. O truque é perceber que subtrair a equação de Geraldo da de Francisco e depois usar a de Hélio nos leva diretamente a p + v.
O que a questão dá
Francisco: P + Q + R + S = 114
Geraldo: Q + S - T = 59
Hélio: R + T - V = 14
Ítalo: 2P + 2V = ?
O que queremos: o valor pago por Ítalo, que comprou 2 unidades de P e 2 de V
Passo 1 — Montar as equações das compras
Cada frase do enunciado descreve uma transação independente, e cada transação vira uma equação com os preços unitários. Precisamos escrever essas equações para poder manipulá-las depois.
Por que esta fórmula: A equação vem diretamente da descrição: comprar soma, devolver subtrai. Francisco comprou P, Q, R e S, então soma os quatro preços e iguala ao total pago. Geraldo comprou Q e S, mas devolveu T, então soma Q e S e subtrai T. Hélio comprou R e T, devolveu V, então soma R e T e subtrai V.
De onde vem cada valor: = enunciado: preços unitários dos produtos P, Q, R, S, T, V · = enunciado: Francisco pagou R$ 114,00 · = enunciado: Geraldo pagou R$ 59,00 · = enunciado: Hélio pagou R$ 14,00
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de subtrair o valor devolvido, tratando a devolução como compra.
Passo 2 — Subtrair a equação de Geraldo da de Francisco
Queremos isolar p + v, mas as equações têm muitas variáveis. Subtrair a segunda da primeira elimina q e s, deixando p + r + t = 55. Isso aproxima da expressão desejada.
Por que esta fórmula: Subtrair equações é uma operação válida: se duas igualdades são verdadeiras, a diferença entre elas também é. Aqui, subtraímos (q + s - t) de (p + q + r + s) para cancelar q e s.
De onde vem cada valor: = passo 1: equação de Francisco · = passo 1: equação de Geraldo · = passo 1: total de Francisco · = passo 1: total de Geraldo
NÃO CAIA NESSA!
Errar o sinal ao subtrair: lembrar que - (q + s - t) = -q - s + t.
Passo 3 — Substituir r + t pela equação de Hélio
A equação de Hélio relaciona r + t com v: r + t - v = 14, então r + t = v + 14. Substituindo isso na equação do passo 2, eliminamos r e t e ficamos com p + v.
Por que esta fórmula: Isolamos r + t na equação de Hélio e substituímos na equação p + r + t = 55. Isso é uma substituição algébrica padrão.
De onde vem cada valor: = passo 2: p + r + t = 55 · = passo 1: da equação de Hélio, r + t - v = 14, logo r + t = v + 14 · = passo 2: resultado
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar 14 ao passar para o outro lado: p + v = 55 - 14 = 41.
Passo 4 — Calcular o dobro de p + v
Ítalo comprou 2 unidades de P e 2 de V, então o valor é 2p + 2v = 2(p + v). Já temos p + v = 41, então basta multiplicar por 2.
Por que esta fórmula: A expressão pedida é exatamente 2p + 2v, que é o dobro da soma que encontramos.
De onde vem cada valor: = passo 3: 41 · = enunciado: Ítalo comprou duas unidades de cada