Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Geral — VUNESP 2026

MatemáticaGeral
Código
vu167490
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Osasco
Ano
2026
Cargo
Eng ( )
No dia da formação de um grupo, a média aritmética das idades de seus 30 integrantes era igual a 17 anos. Um ano depois, um desses integrantes, nesse momento com 25 anos, deixou o grupo, sendo substituído por uma pessoa de 55 anos. Dois anos depois da formação do grupo, outro integrante, nesse momento com 13 anos, deixou o grupo e duas novas pessoas entraram, uma com 47 anos e outra com 48 anos.   Após as últimas mudanças, a média aritmética das idades dos 31 integrantes do grupo passou a ser igual a
  1. A20 anos.
  2. B21 anos.
  3. C22 anos.
  4. D23 anos.
  5. E24 anos.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 22 anos.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 22 anos — alternativa C.

A ideia por trás

A média aritmética é o valor que representa um conjunto de números: somamos todos os valores e dividimos pela quantidade deles. Ela responde à pergunta 'se todos tivessem o mesmo valor, qual seria esse valor para manter a mesma soma?'. Quando o grupo muda — alguém sai, alguém entra —, a soma total se altera e a média precisa ser recalculada.

A relação que governa é: média = soma dos valores ÷ quantidade de valores. Se a quantidade de pessoas é fixa, a média só muda se a soma mudar. Se uma pessoa sai e outra entra, a soma varia pela diferença entre as idades. E o detalhe crucial: com o passar do tempo, TODOS os integrantes envelhecem, então a soma aumenta em 1 por pessoa a cada ano — mesmo sem ninguém sair ou entrar.

Esta questão cobra exatamente esse acompanhamento da soma ao longo do tempo: precisamos atualizar a soma a cada evento (envelhecimento, saída, entrada) e só no final dividir pelo novo número de integrantes.

O que a questão dá

  • número inicial de integrantes = 30

  • média inicial das idades = 17 anos

  • um ano depois: sai integrante com 25 anos, entra pessoa com 55 anos

  • dois anos depois da formação: sai integrante com 13 anos, entram pessoas com 47 e 48 anos

  • número final de integrantes = 31

O que queremos: a média aritmética das idades após as últimas mudanças

Passo 1 — Calcular a soma inicial das idades

A média inicial é dada, mas para acompanhar as mudanças precisamos da soma total das idades. A média é a soma dividida pelo número de pessoas, então a soma é a média vezes o número de pessoas.

Por que esta fórmula: A definição de média aritmética: média = soma / quantidade. Isolando a soma, temos soma = média × quantidade.

S0=xˉ0×n0S_0 = \bar{x}_0 \times n_0

De onde vem cada valor: xˉ0\bar{x}_0 = enunciado: 17 anos · n0n_0 = enunciado: 30 integrantes

S0=17×30=510 anosS_0 = 17 \times 30 = \boxed{510\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar e usar 17 como soma — a soma é bem maior.

Passo 2 — Atualizar a soma após um ano

Um ano se passou, então todos os 30 integrantes ficaram 1 ano mais velhos. Isso aumenta a soma total em 30 anos. Precisamos somar isso antes de aplicar a saída e a entrada.

Por que esta fórmula: Cada pessoa envelhece 1 ano, então o aumento total é o número de pessoas vezes 1 ano.

S1=S0+n0×1S_1 = S_0 + n_0 \times 1

De onde vem cada valor: S0S_0 = passo 1: 510 · n0n_0 = enunciado: 30

S1=510+30×1=540 anosS_1 = 510 + 30 \times 1 = \boxed{540\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o envelhecimento coletivo e pular direto para a substituição — isso leva a um resultado menor.

Passo 3 — Aplicar a primeira substituição

Agora que a soma reflete as idades atuais, podemos tirar quem saiu e colocar quem entrou. A soma diminui pela idade de quem sai e aumenta pela idade de quem entra.

Por que esta fórmula: A soma total é a soma das idades de todos; remover uma pessoa subtrai a idade dela, adicionar uma pessoa soma a idade dela.

S1′=S1−25+55S_1' = S_1 - 25 + 55

De onde vem cada valor: S1S_1 = passo 2: 540 · 2525 = enunciado: sai integrante com 25 anos · 5555 = enunciado: entra pessoa com 55 anos

S1′=540−25+55=570 anosS_1' = 540 - 25 + 55 = \boxed{570\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a idade que o integrante tinha na formação em vez da idade na saída — o enunciado já dá a idade correta.

Passo 4 — Atualizar a soma após mais um ano

Dois anos depois da formação, passou mais um ano desde a primeira mudança. O grupo ainda tem 30 integrantes, então todos envelhecem mais 1 ano, aumentando a soma em 30.

Por que esta fórmula: Mesmo raciocínio do passo 2: cada pessoa envelhece 1 ano, então o aumento é o número de pessoas.

S2=S1′+30×1S_2 = S_1' + 30 \times 1

De onde vem cada valor: S1′S_1' = passo 3: 570 · 3030 = enunciado: grupo ainda tem 30 integrantes

S2=570+30=600 anosS_2 = 570 + 30 = \boxed{600\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o grupo ainda tem 30 pessoas e usar outro número.

Passo 5 — Aplicar a segunda substituição e entradas

Agora sai um integrante com 13 anos e entram duas pessoas. A soma diminui por 13 e aumenta por 47 e 48. O número de integrantes passa de 30 para 31.

Por que esta fórmula: A soma total é atualizada subtraindo a idade de quem sai e somando as idades de quem entra.

Sf=S2−13+47+48S_f = S_2 - 13 + 47 + 48

De onde vem cada valor: S2S_2 = passo 4: 600 · 1313 = enunciado: sai integrante com 13 anos · 4747 = enunciado: entra pessoa com 47 anos · 4848 = enunciado: entra pessoa com 48 anos

Sf=600−13+47+48=682 anosS_f = 600 - 13 + 47 + 48 = \boxed{682\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar as duas entradas ou subtrair a idade errada.

Passo 6 — Calcular a média final

Com a soma final e o número final de integrantes, podemos calcular a média final dividindo a soma pela quantidade.

Por que esta fórmula: A definição de média aritmética: média = soma / quantidade.

xˉf=Sfnf\bar{x}_f = \frac{S_f}{n_f}

De onde vem cada valor: SfS_f = passo 5: 682 · nfn_f = enunciado: 31 integrantes

xˉf=68231=22 anos\bar{x}_f = \frac{682}{31} = \boxed{22\ \text{anos}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir por 30 em vez de 31 — o grupo agora tem 31 integrantes.

Resposta: 22 anos — alternativa C

Link permanente: /questoes/vu167490