Questão de Segurança da Informação — Algoritmos de Criptografia — VUNESP 2023

Criptografia de Curva Elíptica (ECC)

Gabarito: letra E. Na criptografia de curva elíptica (ECC), a chave privada é um número inteiro aleatório dentro de um intervalo válido, cujo tamanho (em bits) é definido pelos parâmetros da curva específica utilizada. As demais alternativas confundem a chave privada com a chave pública (que é um ponto na curva), com o ponto no infinito (elemento neutro do grupo) ou com o par de primos do RSA.

A criptografia de curva elíptica é um tipo de criptografia assimétrica (ou de chave pública), que utiliza um par de chaves: uma pública e uma privada. A segurança desse sistema baseia-se na dificuldade do problema do logaritmo discreto em grupos de pontos de curvas elípticas definidos sobre corpos finitos. A grande vantagem do ECC sobre outros algoritmos assimétricos, como o RSA, é que ele oferece um nível de segurança equivalente com chaves significativamente menores, o que o torna mais eficiente em termos computacionais e de armazenamento.

Para entender a questão, é preciso distinguir os elementos matemáticos envolvidos no ECC:

• Curva elíptica: é uma curva plana definida por uma equação cúbica, geralmente da forma $y^2 = x^3 + ax + b$, sobre um corpo finito. O conjunto de pontos da curva, juntamente com um ponto especial chamado "ponto no infinito", forma um grupo abeliano.

• Chave privada: é um número inteiro aleatório $d$, escolhido dentro de um intervalo válido $[1, n-1]$, onde $n$ é a ordem do grupo de pontos da curva. Esse número é mantido em segredo pelo proprietário.

• Chave pública: é um ponto na curva elíptica, calculado como $Q = d \cdot G$, onde $G$ é um ponto gerador da curva (um ponto base público) e $d$ é a chave privada. A chave pública pode ser livremente divulgada.

• Ponto no infinito: é o elemento neutro do grupo aditivo da curva elíptica. Ele não é um ponto no plano cartesiano, mas um ponto especial que representa a identidade do grupo.

A pegadinha da questão está em associar a chave privada a um ponto na curva (o que é a chave pública) ou a outros elementos matemáticos. A alternativa correta (E) descreve precisamente a natureza da chave privada: um número inteiro dentro de uma faixa válida, que depende da curva específica.

Guarde a distinção central: chave privada = número inteiro; chave pública = ponto na curva. É exatamente essa fronteira que as alternativas tentam confundir.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a chave privada é um ponto em uma curva elíptica em um plano cartesiano, com coordenadas reais. Isso descreve a chave pública, não a privada. Além disso, na criptografia de curva elíptica, as coordenadas dos pontos são elementos de um corpo finito, não números reais com aproximações de ponto flutuante. O uso de números reais não é adequado para a aritmética modular necessária à segurança do sistema.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Também descreve a chave privada como um ponto em uma curva elíptica, mas sobre um campo finito $\mathbb{F}_p$. Novamente, isso é a chave pública. A menção a uma "matriz quadrada p x p" é um absurdo matemático: a curva elíptica é um conjunto de pontos, não uma matriz. A confusão aqui é dupla: troca a chave privada pela pública e introduz um elemento (matriz) que não faz parte da definição.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Descreve a chave privada como um par de números inteiros primos. Isso é a base do RSA, não do ECC. No RSA, a chave privada é derivada de dois números primos grandes, mas no ECC a chave privada é um único número inteiro aleatório. A alternativa mistura conceitos de algoritmos assimétricos distintos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a chave privada é um ponto especial fora da curva, conhecido como "ponto no infinito". O ponto no infinito é o elemento neutro do grupo da curva elíptica, utilizado nas operações de adição de pontos, mas não é a chave privada. A chave privada é um número inteiro, não um ponto.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Descreve corretamente a chave privada como um número inteiro dentro de uma faixa válida, que depende da curva elíptica específica. Na prática, a chave privada $d$ é um inteiro aleatório no intervalo $[1, n-1]$, onde $n$ é a ordem do grupo de pontos da curva. O tamanho em bits desse número determina o nível de segurança, e a faixa válida é definida pelos parâmetros da curva (como o campo finito e a ordem do grupo).

Gabarito: letra E