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Questão de Matemática — Equações de Segundo Grau e Equações Biquadradas — VUNESP 2024

MatemáticaEquações de Segundo Grau e Equações Biquadradas
Código
vu206197
Banca
VUNESP
Órgão
Pref SP
Ano
2024
Cargo
Aux TE ( )
Necessita-se de um pedaço retangular de cartolina cujas medidas de largura e altura sejam dadas por números inteiros, de modo que a largura exceda em k cm a altura, sendo k menor possível. Se a área desse pedaço de cartolina tem que ser igual a 255 cm2, então seu maior lado deverá medir
  1. A17 cm.
  2. B18 cm.
  3. C16 cm.
  4. D15 cm.
  5. E19 cm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 17 cm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 17 cm — alternativa A.

A ideia por trás

Um retângulo tem dois pares de lados iguais; sua área é o produto da largura pela altura. Quando o enunciado pede que os lados sejam números inteiros e que a diferença entre eles seja a menor possível, estamos procurando dois divisores do número da área que estejam o mais próximos um do outro — quanto mais próximos, mais o retângulo se parece com um quadrado.

Se a área é A e os lados são x e y, então x · y = A. Para minimizar a diferença |x − y| com produto fixo, os números devem ser o mais próximos possível da raiz quadrada de A. Isso porque, para um produto constante, a soma (e a diferença) é mínima quando os fatores são iguais; como precisamos de inteiros, escolhemos os divisores mais próximos da raiz.

Esta questão cobra exatamente essa busca: fatorar 255 e comparar as diferenças entre os pares de divisores para achar o par com menor diferença. O maior lado desse par é a resposta.

O que a questão dá

  • área do retângulo = 255 cm²

  • largura e altura são números inteiros

  • largura excede a altura em k cm, com k o menor possível

O que queremos: a medida do maior lado do retângulo

Passo 1 — Fatorar 255 em números primos

Para encontrar todos os pares de divisores inteiros de 255, precisamos primeiro decompor o número em fatores primos. Isso organiza a busca e evita esquecer algum divisor.

Por que esta fórmula: A fatoração prima é a decomposição única de um número em produto de primos. Para 255, testamos divisores primos: 255 é divisível por 3 (2+5+5=12), por 5 (termina em 5) e por 17 (255/15=17).

255=3×5×17255 = 3 \times 5 \times 17

De onde vem cada valor: 33 = constante: fator primo de 255 · 55 = constante: fator primo de 255 · 1717 = constante: fator primo de 255

255=3×5×17255 = 3 \times 5 \times 17
255=3 ×5×17255 = \boxed{3\ \times 5 \times 17}
NÃO CAIA NESSA!

Parar em 255 = 5 × 51 e não continuar fatorando 51 = 3 × 17 — isso esconde o divisor 17.

Passo 2 — Listar os pares de divisores

Com a fatoração em mãos, podemos combinar os fatores primos para gerar todos os divisores e, em seguida, formar os pares cujo produto é 255. Isso é necessário para comparar as diferenças.

Por que esta fórmula: Cada divisor é um produto de alguns dos fatores primos. Os divisores de 255 são: 1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255. Para cada divisor d, o par é (d, 255/d).

pares:(1,255),(3,85),(5,51),(15,17)\boxed{\text{pares}: (1,255), (3,85), (5,51), (15,17)}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o par (1,255) ou (15,17) — a lista fica incompleta e a comparação errada.

Passo 3 — Calcular a diferença de cada par

O enunciado pede a menor diferença possível entre largura e altura. Para cada par de divisores, calculamos a diferença e depois escolhemos a menor.

Por que esta fórmula: A diferença entre os lados é simplesmente a subtração do menor pelo maior (ou o valor absoluto).

k=∣x−y∣k = |x - y|

De onde vem cada valor: xx = passo 2: cada divisor do par · yy = passo 2: o outro divisor do par

k1=∣1−255∣=254,k2=∣3−85∣=82,k3=∣5−51∣=46,k4=∣15−17∣=2=diferenc\cas:254,82,46,2k1 = |1-255| = 254, k2 = |3-85| = 82, k3 = |5-51| = 46, k4 = |15-17| = 2 = \boxed{\text{diferen}ç\text{as}: 254, 82, 46, 2}
NÃO CAIA NESSA!

Não calcular todas as diferenças e escolher o primeiro par que aparece, como (3,85) com diferença 82.

Passo 4 — Escolher o par com menor diferença

A menor diferença entre os pares é 2, do par (15,17). Esse é o par que satisfaz a condição de k mínimo.

Por que esta fórmula: Comparando as diferenças calculadas, 2 é a menor. Portanto, os lados são 15 cm e 17 cm.

lados:15cme17cm\boxed{\text{lados}: 15 \text{cm} \text{e} 17 \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o menor lado com o maior — o enunciado pede o maior lado.

Passo 5 — Identificar o maior lado

O problema pergunta explicitamente pelo maior lado do retângulo. No par (15,17), o maior é 17 cm.

17 cm\boxed{17\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Marcar 15 cm por engano, pensando que é o lado pedido.

Resposta: 17 cm — alternativa A

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