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Questão de Matemática — Frações e Dízimas Periódicas — VUNESP 2024

MatemáticaFrações e Dízimas Periódicas
Código
vu206199
Banca
VUNESP
Órgão
TJ SP
Ano
2024
Cargo
PsiJ ( )
Em um certo departamento, a razão entre o número de colaboradores com cargo A e o número de colaboradores com o cargo B é 25\frac{2}{5}, sendo que há 12 colaboradores a mais com cargo B em comparação ao número de colaboradores com cargo A. Sabe-se que serão contratados alguns colaboradores com cargo A, de modo que a referida razão passará a ser igual a 35\frac{3}{5}. Após essas contratações, esse departamento passará a ter um total de colaboradores com cargo A ou cargo B igual a:
  1. A34.
  2. B36.
  3. C30.
  4. D28.
  5. E32.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 32.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 32 colaboradores — alternativa E.

A ideia por trás

Uma razão é uma comparação entre duas quantidades por meio de uma fração. Aqui, a razão 2/5 entre os cargos A e B significa que, para cada 2 colaboradores do cargo A, existem 5 do cargo B — mas não diz quantos são no total. A diferença de 12 pessoas é o dado concreto que permite transformar essa proporção em números reais.

A razão A/B = 2/5 pode ser reescrita como A = (2/5)B, e a diferença B - A = 12. Juntas, essas duas equações formam um sistema que determina os valores iniciais de A e B. Quando apenas uma das grandezas muda (aqui, A aumenta), a razão muda, mas a outra grandeza (B) permanece fixa.

Esta questão cobra a montagem e resolução de um sistema a partir de uma razão e uma diferença, e depois a aplicação de uma nova razão para encontrar o valor da contratação. O passo crucial é perceber que B não muda.

O que a questão dá

  • razão inicial entre A e B = 2/5

  • B tem 12 colaboradores a mais que A

  • nova razão após contratações = 3/5

O que queremos: o total de colaboradores (A + B) após as contratações

Passo 1 — Montar o sistema com a razão e a diferença

Precisamos transformar as informações do enunciado em equações. A razão A/B = 2/5 e a diferença B - A = 12 são duas relações independentes que envolvem as mesmas incógnitas A e B, então formam um sistema que pode ser resolvido.

Por que esta fórmula: A razão é uma igualdade de frações, então podemos multiplicar em cruz: A/B = 2/5 implica 5A = 2B, ou A = (2/5)B. A diferença é direta: B - A = 12.

A=25BeB−A=12A = \frac{2}{5}B \quad \text{e} \quad B - A = 12

De onde vem cada valor: AA = definição: número de colaboradores com cargo A (incógnita) · BB = definição: número de colaboradores com cargo B (incógnita) · 25\frac{2}{5} = enunciado: razão inicial · 1212 = enunciado: B tem 12 a mais que A

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de montar a segunda equação B - A = 12 e tentar resolver apenas com a razão, o que é impossível.

Passo 2 — Substituir A na equação da diferença

Com A expresso em função de B, podemos substituir na equação da diferença para obter uma equação apenas com B. Isso é o método da substituição para resolver sistemas.

Por que esta fórmula: Substituímos A = (2/5)B em B - A = 12, resultando em B - (2/5)B = 12. Como B = (5/5)B, temos (3/5)B = 12.

B−25B=12⇒35B=12B - \frac{2}{5}B = 12 \Rightarrow \frac{3}{5}B = 12

De onde vem cada valor: BB = passo 1: incógnita · 25B\frac{2}{5}B = passo 1: expressão de A · 1212 = enunciado: diferença

B−25B=12B - \frac{2}{5}B = 12
35B=12\frac{3}{5}B = \boxed{12}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração de frações: B - (2/5)B = (1 - 2/5)B = (3/5)B, não (1/5)B.

Passo 3 — Isolar B e calcular seu valor

A equação (3/5)B = 12 está pronta para ser resolvida. Isolar B nos dá o número de colaboradores do cargo B, que é essencial para os próximos passos.

Por que esta fórmula: Para isolar B, multiplicamos ambos os lados pelo inverso de 3/5, que é 5/3. Isso é válido porque multiplicar por 5/3 cancela o fator 3/5.

B=12×53B = 12 \times \frac{5}{3}

De onde vem cada valor: 1212 = passo 2: resultado da equação · 53\frac{5}{3} = definição: inverso de 3/5

B=12×53=20 colaboradoresB = 12 \times \frac{5}{3} = \boxed{20\ \text{colaboradores}}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fração: usar 3/5 em vez de 5/3, o que daria B = 7,2 (errado).

Passo 4 — Calcular A usando a razão inicial

Com B conhecido, podemos voltar à razão inicial para achar A. Isso fecha o sistema e nos dá os valores iniciais completos.

Por que esta fórmula: Usamos A = (2/5)B, que veio da razão inicial. Substituímos B = 20.

A=25×20A = \frac{2}{5} \times 20

De onde vem cada valor: 25\frac{2}{5} = enunciado: razão inicial · 2020 = passo 3: valor de B

A=25×20=8 colaboradoresA = \frac{2}{5} \times 20 = \boxed{8\ \text{colaboradores}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a nova razão (3/5) aqui, o que daria A = 12, mas isso é para depois das contratações.

Passo 5 — Montar a equação com a nova razão

Após as contratações, o número de colaboradores com cargo A aumenta, mas B permanece 20. A nova razão é 3/5, então montamos a equação com o novo A = 8 + x, onde x é o número de contratados.

Por que esta fórmula: A nova razão é (novo A)/(B) = 3/5. Como B não muda, escrevemos (8 + x)/20 = 3/5.

8+x20=35\frac{8 + x}{20} = \frac{3}{5}

De onde vem cada valor: 88 = passo 4: valor inicial de A · xx = definição: número de novos contratados com cargo A (incógnita) · 2020 = passo 3: valor de B (não muda) · 35\frac{3}{5} = enunciado: nova razão

NÃO CAIA NESSA!

Tentar recalcular B com a nova razão, mas B não muda — apenas A é alterado.

Passo 6 — Resolver a equação para achar x

A equação do passo anterior tem uma incógnita, x. Multiplicando cruzado, obtemos uma equação linear simples de resolver.

Por que esta fórmula: Multiplicação cruzada: 5(8 + x) = 3 × 20. Depois distribuímos e isolamos x.

5(8+x)=605(8 + x) = 60

De onde vem cada valor: 55 = enunciado: denominador da razão 3/5 · 8+x8 + x = passo 5: novo número de A · 6060 = constante: 3 × 20

5(8+x)=605(8 + x) = 60
x=4x = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de distribuir o 5: escrever 5 + x = 60 em vez de 40 + 5x = 60.

Passo 7 — Calcular o total final de colaboradores

Com x conhecido, o novo número de colaboradores com cargo A é 8 + 4 = 12. Somando com B = 20, obtemos o total final pedido.

Por que esta fórmula: Total final = (A inicial + x) + B. Substituímos os valores.

Total=(8+4)+20\text{Total} = (8 + 4) + 20

De onde vem cada valor: 88 = passo 4: A inicial · 44 = passo 6: x · 2020 = passo 3: B

Total=12+20=32 colaboradores\text{Total} = 12 + 20 = \boxed{32\ \text{colaboradores}}
NÃO CAIA NESSA!

Parar no total inicial (28) ou somar x ao total inicial (28 + 4 = 32, que por acaso coincide, mas o raciocínio correto é somar o novo A com B).

Resposta: 32 colaboradores — alternativa E

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