Questão de Matemática — Sistemas Lineares — VUNESP 2024
Matemática›Sistemas Lineares
Código
vu206229
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Osasco
Ano
2024
Cargo
AFPA ( )
A soma das massas corporais atuais de Andressa e de Viviane é igual a 105 kg. Há um ano atrás, em comparação com as massas corporais atuais, a massa corporal de Andressa era 5 kg maior, e a de Viviane, 3 kg menor, e a diferença, nesta ordem, entre essas massas corporais era igual a 1 kg. Então, a massa corporal atual de Viviane é igual a
A59 kg.
B58 kg.
C57 kg.
D56 kg.
E55 kg.
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GabaritoD — 56 kg.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a 56 kg — alternativa D.
A ideia por trás
Um sistema linear é um conjunto de equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Aqui, cada frase do enunciado vira uma equação, e as incógnitas são as massas atuais de Andressa e Viviane. Resolver o sistema é achar os valores que satisfazem todas as equações de uma vez.
A relação central é a soma das massas atuais: A + V = 105. A segunda informação fala do passado: Andressa tinha A + 5 e Viviane tinha V − 3, e a diferença entre elas, nessa ordem, era 1, o que dá (A + 5) − (V − 3) = 1. Quando uma incógnita aparece com sinais opostos em duas equações, somar as equações elimina uma delas e resolve o sistema.
Esta questão cobra a tradução de um texto do dia a dia para a linguagem algébrica e a resolução de um sistema 2×2. O passo mais importante é montar as equações com os sinais corretos, respeitando o que 'maior' e 'menor' significam em relação ao presente.
O que a questão dá
soma das massas atuais de Andressa e Viviane = 105 kg
há um ano, Andressa pesava 5 kg a mais que hoje
há um ano, Viviane pesava 3 kg a menos que hoje
diferença entre as massas de um ano atrás, na ordem Andressa − Viviane, = 1 kg
O que queremos: a massa corporal atual de Viviane
Passo 1 — Definir as incógnitas e montar a primeira equação
Antes de qualquer conta, precisamos dar nomes às massas que queremos descobrir. Chamar de A a massa atual de Andressa e de V a de Viviane transforma o problema em linguagem matemática. A primeira frase do enunciado já vira uma equação: a soma delas é 105.
Por que esta fórmula: A frase 'a soma das massas atuais é 105 kg' é exatamente A + V = 105. Não há outra interpretação possível.
De onde vem cada valor: = definição: massa atual de Andressa · = definição: massa atual de Viviane · = enunciado: soma das massas atuais
NÃO CAIA NESSA!
Trocar a ordem das incógnitas ou usar 105 como diferença — a soma é sempre a adição das duas.
Passo 2 — Montar a equação do passado
A segunda informação fala de um ano atrás, então precisamos expressar as massas antigas em função das atuais. 'Andressa era 5 kg maior' significa que ela pesava A + 5; 'Viviane era 3 kg menor' significa V − 3. A diferença 'nesta ordem' é a de Andressa menos a de Viviane, e isso vale 1.
Por que esta fórmula: A frase 'a diferença, nesta ordem, entre essas massas era 1' se traduz como (massa de Andressa antiga) − (massa de Viviane antiga) = 1. Substituindo as expressões, temos (A + 5) − (V − 3) = 1.
De onde vem cada valor: = enunciado: Andressa era 5 kg maior que hoje · = enunciado: Viviane era 3 kg menor que hoje · = enunciado: diferença entre as massas antigas, na ordem Andressa − Viviane
NÃO CAIA NESSA!
Inverter os sinais: escrever (A − 5) − (V + 3) = 1, o que inverte o significado de 'maior' e 'menor'.
Passo 3 — Simplificar a equação do passado
A equação (A + 5) − (V − 3) = 1 tem parênteses que precisam ser removidos para ficar no formato padrão A − V = ... . Isso é necessário para podermos somar as duas equações depois.
Por que esta fórmula: Ao subtrair (V − 3), o sinal de menos distribui: −(V − 3) = −V + 3. Então a equação vira A + 5 − V + 3 = 1, que simplifica para A − V + 8 = 1, e subtraindo 8 dos dois lados, A − V = −7.
De onde vem cada valor: = passo 2: A + 5 − V + 3 = 1 · = passo 2: sinal de menos distribuído · = passo 2: 1 − 8
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de distribuir o sinal de menos: escrever A + 5 − V − 3 = 1, o que daria A − V = −1.
Passo 4 — Somar as equações para eliminar V
Agora temos duas equações com as mesmas incógnitas: A + V = 105 e A − V = −7. Somando-as, o V some porque +V e −V se cancelam, sobrando uma equação só com A. Isso é o método da adição.
Por que esta fórmula: Quando os coeficientes de uma incógnita são opostos (aqui, +1 e −1), somar as equações elimina essa incógnita. É a forma mais rápida de resolver o sistema.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 3 · = passo 1 · = passo 3
NÃO CAIA NESSA!
Subtrair as equações em vez de somar, o que não elimina V e complica a conta.
Passo 5 — Calcular a massa de Andressa
A equação 2A = 98 tem só uma incógnita, então é direto isolar A dividindo por 2. Esse valor será usado no próximo passo para achar V.
Por que esta fórmula: Dividir ambos os lados por 2 isola A: A = 98/2.
De onde vem cada valor: = passo 4: 2A = 98 · = constante: coeficiente de A na equação 2A = 98
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de dividir e usar A = 98, o que leva a V negativo.
Passo 6 — Substituir A na primeira equação
Com A = 49, a primeira equação A + V = 105 vira uma equação só com V. Substituir é o passo final para achar a massa de Viviane.
Por que esta fórmula: A primeira equação é a mais simples para substituir, pois V aparece sozinho: V = 105 − A.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 5: 49
NÃO CAIA NESSA!
Usar a equação do passado para substituir, o que complica e pode dar erro de sinal.