Questão de Matemática — Sistemas Lineares — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a R$ 49,00 — alternativa C.

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Aqui, cada compra vira uma equação: o total pago é a soma dos preços unitários multiplicados pelas quantidades. A diferença de preços entre as lojas é outra informação que vira uma relação entre as incógnitas.

Se chamarmos de x o preço do produto A na loja de Roberto e de y o preço do B, a compra dele dá 3x + 2y = 131. Como Zuleica paga 2 reais a menos no A e 1 real a menos no B, os preços dela são x - 2 e y - 1, então a compra dela dá 5(x - 2) + 2(y - 1) = 173. Quando uma incógnita aparece com o mesmo coeficiente nas duas equações, subtrair uma da outra elimina essa incógnita e resolve o sistema.

Esta questão cobra montar o sistema com os preços de Roberto e só no final aplicar a diferença para achar os preços de Zuleica. O erro clássico é misturar as lojas durante a montagem.

O que a questão dá

• Roberto: 3 unidades de A e 2 de B por R$ 131,00

• Zuleica: 5 unidades de A e 2 de B por R$ 173,00

• Zuleica pagou R$ 2,00 a menos por unidade de A e R$ 1,00 a menos por unidade de B que Roberto

O que queremos: o total que uma pessoa pagaria por uma unidade de cada produto na loja de Zuleica

Passo 1 — Definir as incógnitas para os preços de Roberto

Antes de escrever qualquer equação, precisamos nomear o que não sabemos. Como a diferença de preços é dada em relação à loja de Roberto, é mais direto chamar de x e y os preços dele; depois subtraímos a diferença para chegar aos de Zuleica.

Passo 2 — Montar a equação da compra de Roberto

A compra de Roberto é a mais simples: ele paga 3 vezes o preço de A mais 2 vezes o preço de B, e isso totaliza 131. Essa é a primeira equação do sistema.

Por que esta fórmula: O total pago é sempre quantidade vezes preço unitário somado para cada produto. Como são 3 unidades de A e 2 de B, fica 3x + 2y = 131.

De onde vem cada valor: $3$ = enunciado: Roberto comprou 3 unidades de A · $x$ = passo 1: preço de A na loja de Roberto · $2$ = enunciado: Roberto comprou 2 unidades de B · $y$ = passo 1: preço de B na loja de Roberto · $131$ = enunciado: Roberto pagou R$ 131,00

Passo 3 — Montar a equação da compra de Zuleica

A compra de Zuleica usa os preços dela, que são x - 2 e y - 1. Precisamos escrever essa equação com essas expressões para que o sistema fique em função de x e y.

Por que esta fórmula: Ela compra 5 unidades de A e 2 de B, então o total é 5 vezes o preço dela de A mais 2 vezes o preço dela de B, igual a 173. Como o preço dela de A é x - 2 e o de B é y - 1, fica 5(x - 2) + 2(y - 1) = 173.

De onde vem cada valor: $5$ = enunciado: Zuleica comprou 5 unidades de A · $x - 2$ = enunciado: ela pagou R$ 2,00 a menos que Roberto no A · $2$ = enunciado: Zuleica comprou 2 unidades de B · $y - 1$ = enunciado: ela pagou R$ 1,00 a menos que Roberto no B · $173$ = enunciado: Zuleica pagou R$ 173,00

Passo 4 — Simplificar a equação de Zuleica

Para resolver o sistema, as duas equações precisam estar na forma mais simples, sem parênteses. Expandir a equação de Zuleica deixa os termos de x e y separados das constantes.

Por que esta fórmula: Aplicamos a propriedade distributiva: 5(x - 2) vira 5x - 10 e 2(y - 1) vira 2y - 2. Somando as constantes -10 e -2, obtemos -12, que passa para o outro lado como +12.

De onde vem cada valor: $5x$ = passo 3: 5(x - 2) expandido · $2y$ = passo 3: 2(y - 1) expandido · $185$ = passo 3: 173 + 10 + 2

Passo 5 — Subtrair as equações para achar x

Agora temos duas equações com o mesmo coeficiente 2y. Subtrair uma da outra elimina y e deixa uma equação só com x, que resolvemos direto.

Por que esta fórmula: Quando os coeficientes de uma incógnita são iguais, a subtração cancela essa incógnita. (5x + 2y) - (3x + 2y) = 2x, e 185 - 131 = 54.

De onde vem cada valor: $2x$ = passo 4: 5x - 3x · $54$ = passo 4: 185 - 131

Passo 6 — Resolver a equação para x

Com 2x = 54, dividimos os dois lados por 2 para isolar x. Esse é o preço do produto A na loja de Roberto.

Por que esta fórmula: Para isolar x, fazemos a operação inversa da multiplicação por 2, que é dividir por 2.

De onde vem cada valor: $54$ = passo 5: 2x = 54 · $2$ = passo 5: coeficiente de x

$x$ = R$ 27,00

Passo 7 — Substituir x para achar y

Com x conhecido, usamos uma das equações originais para descobrir y. A equação de Roberto é a mais simples.

Por que esta fórmula: Substituímos x = 27 em 3x + 2y = 131, ficando 81 + 2y = 131. Subtraindo 81 dos dois lados, 2y = 50, e dividindo por 2, y = 25.

De onde vem cada valor: $131$ = passo 2: total de Roberto · $3$ = passo 2: quantidade de A · $27$ = passo 6: preço de A · $2$ = passo 2: quantidade de B

$y$ = R$ 25,00

Passo 8 — Calcular os preços na loja de Zuleica e o total

A pergunta é sobre a loja de Zuleica, então precisamos aplicar a diferença de preços aos valores de Roberto. Depois somamos os dois preços dela para achar o total de uma unidade de cada.

Por que esta fórmula: Zuleica paga R$ 2,00 a menos no A e R$ 1,00 a menos no B, então os preços dela são x - 2 e y - 1. O total é a soma desses dois.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 6: 27 · $2$ = enunciado: diferença no A · $y$ = passo 7: 25 · $1$ = enunciado: diferença no B

$total$ = R$ 49,00

Resposta: R$ 49,00 — alternativa C