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Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2024

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
vu206244
Banca
VUNESP
Órgão
SPTrans
Ano
2024
Cargo
TET ( )
Tem-se, no total, 420 folhas de sulfite, sendo 240 na cor azul e as demais na cor amarela. Todas essas folhas deverão ser distribuídas em envelopes, de modo que cada envelope contenha x folhas na cor azul e y folhas na cor amarela, com x e y sendo os menores números possíveis. Após essa distribuição, a terça parte do número de envelopes contendo essas folhas será destinada para certa pessoa. O número total de folhas na cor azul que essa pessoa receberá será igual a
  1. A90.
  2. B80.
  3. C70.
  4. D60.
  5. E50.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 80.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 80 folhas azuis — alternativa B.

A ideia por trás

O máximo divisor comum (MDC) entre dois números é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Ele aparece em problemas de distribuição em grupos iguais: se você tem 240 itens de um tipo e 180 de outro, o MDC diz quantos grupos idênticos você consegue formar usando todos os itens, sem sobrar nada. A unidade é apenas 'grupos' ou 'envelopes'.

Para calcular o MDC, fatoramos cada número em primos e multiplicamos os fatores comuns com os menores expoentes. Por exemplo, 240 = 2⁴·3·5 e 180 = 2²·3²·5; os fatores comuns são 2, 3 e 5, com expoentes 2, 1 e 1, então MDC = 2²·3·5 = 60. Quanto maior o MDC, mais grupos podemos formar, e cada grupo terá menos itens de cada tipo — é por isso que ele garante x e y mínimos.

Esta questão pede exatamente o MDC entre 240 e 180 para achar o número de envelopes, depois usa a fração de envelopes destinada à pessoa e a quantidade de azuis por envelope.

O que a questão dá

  • total de folhas = 420

  • folhas azuis = 240

  • folhas amarelas = 420 - 240 = 180

  • cada envelope: x azuis e y amarelas, com x e y mínimos

  • pessoa recebe a terça parte dos envelopes

O que queremos: o número de folhas azuis que a pessoa receberá

Passo 1 — Calcular quantas folhas amarelas existem

O enunciado dá o total e as azuis, mas o MDC precisa dos dois grupos de folhas. Subtrair é o primeiro passo para conhecer o segundo número.

Por que esta fórmula: Total = azuis + amarelas, então amarelas = total - azuis.

Aamarelas=420−240A_{amarelas} = 420 - 240

De onde vem cada valor: 420420 = enunciado: total de folhas · 240240 = enunciado: folhas azuis

Aamarelas=420−240A_{amarelas} = 420 - 240

AamarelasA_{amarelas} = 180 folhas amarelas

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair e usar 420 como se fosse o número de amarelas — o MDC sairia errado.

Passo 2 — Fatorar 240 e 180 em primos

Para achar o MDC precisamos ver quais fatores primos os dois números têm em comum. Fatorar é decompor cada número em uma multiplicação de primos.

Por que esta fórmula: A fatoração é a base do cálculo do MDC: ela mostra os 'tijolos' de cada número, e o MDC é o produto dos tijolos comuns com o menor expoente.

240=24×3×5;180=22×32×5240 = 2^{4} \times 3 \times 5; \quad 180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5

De onde vem cada valor: 240240 = passo 1: folhas azuis · 180180 = passo 1: folhas amarelas

240=24×3×5;180=22×32×5240 = 2^{4} \times 3 \times 5; \quad 180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5

240240 = fatorações prontas

NÃO CAIA NESSA!

Errar a fatoração, por exemplo, escrever 240 = 2³·3·10 — 10 não é primo.

Passo 3 — Calcular o MDC entre 240 e 180

O MDC é o número máximo de envelopes idênticos que podemos formar. Com as fatorações em mãos, basta multiplicar os fatores comuns com os menores expoentes.

Por que esta fórmula: O MDC é o produto dos fatores primos comuns, cada um elevado ao menor expoente que aparece nas duas fatorações. Isso garante que o resultado divide ambos os números.

MDC(240,180)=22×3×5MDC(240, 180) = 2^{2} \times 3 \times 5

De onde vem cada valor: 222^{2} = passo 2: menor expoente de 2 entre 2⁴ e 2² · 33 = passo 2: menor expoente de 3 entre 3¹ e 3² · 55 = passo 2: fator comum com expoente 1

MDC=4×3×5=60 envelopesMDC = 4 \times 3 \times 5 = \boxed{60\ \text{envelopes}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o maior expoente (como no MMC) — isso daria 720, que não é o número de envelopes.

Passo 4 — Achar quantas folhas azuis vão em cada envelope

Com 60 envelopes, precisamos saber quantas azuis cada um leva para depois multiplicar pela quantidade de envelopes da pessoa.

Por que esta fórmula: Se distribuímos 240 azuis igualmente entre 60 envelopes, cada envelope recebe 240 ÷ 60.

x=24060x = \frac{240}{60}

De onde vem cada valor: 240240 = enunciado: folhas azuis · 6060 = passo 3: número de envelopes

x=24060x = \frac{240}{60}

xx = 4 folhas azuis por envelope

NÃO CAIA NESSA!

Dividir 420 por 60 — isso mistura as cores e daria 7, mas o problema separa azuis e amarelas.

Passo 5 — Calcular quantos envelopes a pessoa recebe

O enunciado diz que a pessoa recebe a terça parte dos envelopes. Precisamos desse número para saber quantas azuis ela ganha no total.

Por que esta fórmula: Terça parte é dividir por 3.

Epessoa=603E_{pessoa} = \frac{60}{3}

De onde vem cada valor: 6060 = passo 3: número total de envelopes · 33 = enunciado: terça parte

Epessoa=603=20 envelopesE_{pessoa} = \frac{60}{3} = \boxed{20\ \text{envelopes}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar metade (÷2) em vez de terça parte (÷3) — daria 30 envelopes e resposta errada.

Passo 6 — Multiplicar envelopes da pessoa pelas azuis por envelope

Cada envelope tem 4 azuis, e a pessoa recebe 20 envelopes. Multiplicar dá o total de folhas azuis que ela leva.

Por que esta fórmula: Total de azuis = (azuis por envelope) × (envelopes da pessoa).

Apessoa=4×20A_{pessoa} = 4 \times 20

De onde vem cada valor: 44 = passo 4: azuis por envelope · 2020 = passo 5: envelopes da pessoa

Apessoa=4×20A_{pessoa} = 4 \times 20

ApessoaA_{pessoa} = 80 folhas azuis

NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar 4 por 60 (todos os envelopes) — a pessoa só recebe a terça parte.

Resposta: 80 folhas azuis — alternativa B

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