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Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2024

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
vu206246
Banca
VUNESP
Órgão
SPTrans
Ano
2024
Cargo
Tec ( )
Em um parque, três gêiseres ficam próximos um do outro, sendo que um deles jorra água a cada 10 minutos, outro a cada 12 minutos e o terceiro a cada 27 minutos. No dia 11 de novembro às 11h11 esses três gêiseres jorraram água ao mesmo tempo e voltaram a jorrar água, ao mesmo tempo, após
  1. A5 horas.
  2. B6 horas.
  3. C8 horas.
  4. D9 horas.
  5. E10 horas.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 9 horas.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 9 horas — alternativa D.

A ideia por trás

O mínimo múltiplo comum (MMC) entre dois ou mais números é o menor número inteiro positivo que é múltiplo de todos eles. Em problemas de eventos periódicos — como gêiseres que jorram a cada tantos minutos, pessoas que folgam a cada tantos dias ou máquinas que acendem a cada tantos segundos — o MMC dos intervalos indica exatamente quando os eventos voltam a ocorrer simultaneamente. A lógica é simples: se um gêiser jorra a cada 10 minutos, ele jorra nos múltiplos de 10 (10, 20, 30...); se outro jorra a cada 12 minutos, jorra nos múltiplos de 12 (12, 24, 36...); e o terceiro, a cada 27 minutos, nos múltiplos de 27 (27, 54, 81...). O primeiro instante em que os três jorram juntos é o menor número que é múltiplo de 10, 12 e 27 ao mesmo tempo — ou seja, o MMC.

O método mais seguro para calcular o MMC é a decomposição simultânea em fatores primos: dividimos os números pelos menores primos possíveis até que todos virem 1, e multiplicamos todos os fatores primos utilizados. O MMC deve conter cada fator primo com o maior expoente que aparece entre os números. Por exemplo, se um número tem 2² e outro tem 2³, o MMC usa 2³, porque precisa ser múltiplo de ambos. Essa regra garante que o resultado seja o menor número que todos dividem sem deixar resto.

Esta questão pede o MMC de 10, 12 e 27, que é o tempo em minutos até a próxima coincidência. Depois, é preciso converter esse tempo de minutos para horas, porque as alternativas estão em horas.

O que a questão dá

  • intervalo do primeiro gêiser = 10 minutos

  • intervalo do segundo gêiser = 12 minutos

  • intervalo do terceiro gêiser = 27 minutos

  • instante da coincidência inicial: 11/11 às 11h11

O que queremos: o tempo, em horas, até os três gêiseres jorrarem juntos novamente

Passo 1 — Decompor cada intervalo em fatores primos

Para calcular o MMC, precisamos conhecer a composição de cada número em primos. Isso permite identificar quais fatores e expoentes são necessários para que o resultado seja múltiplo de todos.

Por que esta fórmula: A decomposição em fatores primos é a base do cálculo do MMC: cada número é escrito como produto de primos, e o MMC será o produto dos primos com os maiores expoentes encontrados.

10=2×512=22×327=3310 = 2 \times 5 \\ 12 = 2^{2} \times 3 \\ 27 = 3^{3}

De onde vem cada valor: 1010 = enunciado: primeiro gêiser · 1212 = enunciado: segundo gêiser · 2727 = enunciado: terceiro gêiser

10=2×512=22×327=3310 = 2 \times 5 \\ 12 = 2^{2} \times 3 \\ 27 = 3^{3}

10 = 2·5, 12 = 2²·3, 27 = 3³

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fatorar completamente, como escrever 12 = 2×6 em vez de 2²×3 — isso leva a um MMC errado.

Passo 2 — Montar o MMC com os maiores expoentes

Com as fatorações em mãos, escolhemos, para cada primo, o maior expoente que aparece. Isso garante que o MMC seja divisível por todos os números originais.

Por que esta fórmula: O MMC é o produto dos fatores primos com os maiores expoentes: 2² (de 12), 3³ (de 27) e 5 (de 10).

MMC=22×33×5MMC = 2^{2} \times 3^{3} \times 5

De onde vem cada valor: 222^{2} = passo 1: 12 = 2²×3 · 333^{3} = passo 1: 27 = 3³ · 55 = passo 1: 10 = 2×5

MMC=4×27×5=540MMC = 4 \times 27 \times 5 = \boxed{540}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o menor expoente em vez do maior — isso daria o MDC, que é 1, e não corresponde a nenhuma alternativa.

Passo 3 — Converter minutos em horas

O MMC deu o tempo em minutos, mas as alternativas estão em horas. Como 1 hora tem 60 minutos, dividimos por 60.

Por que esta fórmula: A conversão de minutos para horas é direta: 1 h = 60 min, então o número de horas é o número de minutos dividido por 60.

horas=minutos60horas = \frac{minutos}{60}

De onde vem cada valor: minutosminutos = passo 2: 540 · 6060 = definição: 1 hora = 60 minutos

horas=54060=9 horashoras = \frac{540}{60} = \boxed{9\ \text{horas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter e marcar 540, que não está nas opções, ou dividir por 100 em vez de 60.

Resposta: 9 horas — alternativa D

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