No fim de outubro, as vendas de carros no mês de uma equipe de 220 vendedores foram computadas. Desses vendedores, alguns venderam, cada um, 10 carros e os demais venderam, cada um, 7 carros. No fim de novembro, entre aqueles que em outubro venderam 10 carros, foram feitas as seguintes vendas individuais: 20% venderam mais 8 carros, 50% venderam mais 9 carros e os demais venderam mais 11 carros. No fim de novembro, entre aqueles que em outubro venderam 7 carros, 14 venderam, cada um, mais 12 carros e os demais venderam, cada um, mais 15 carros. Nesses dois meses, essa equipe vendeu 4 694 carros, sendo que o número de carros vendidos em outubro foi
A1 660.
B1 780.
C1 900.
D2 020.
E2 080.
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GabaritoA — 1 660.
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Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a 1660 carros — alternativa A.
A ideia por trás
Porcentagem é uma forma de comparar uma parte com o todo, usando a base 100. Quando o enunciado diz que 20% de um grupo vendeu 8 carros, isso significa que, de cada 100 vendedores daquele grupo, 20 venderam 8 — ou seja, a quantidade é 0,20 vezes o tamanho do grupo. Ela aparece aqui para repartir os vendedores em subgrupos com desempenhos diferentes.
A relação central é a de proporção: parte = porcentagem × total. Se um grupo tem x pessoas e 20% delas fazem algo, o número de pessoas que fazem é 0,20x. Além disso, quando somamos as vendas de vários subgrupos, o total é a soma das contribuições de cada um — é isso que permite montar uma equação com o total de 4694 carros.
Esta questão mistura porcentagem com um sistema de equações: precisamos descobrir quantos vendedores venderam 10 e quantos venderam 7 em outubro, usando o total de vendedores e o total de carros vendidos nos dois meses. A porcentagem serve para calcular as vendas de novembro de cada subgrupo.
O que a questão dá
total de vendedores = 220
vendas de outubro: 10 ou 7 carros por vendedor
vendas adicionais de novembro para quem vendeu 10 em outubro: 20% venderam +8, 50% venderam +9, os demais +11
vendas adicionais de novembro para quem vendeu 7 em outubro: 14 venderam +12, os demais +15
total vendido nos dois meses = 4694 carros
O que queremos: o número de carros vendidos em outubro
Passo 1 — Definir as incógnitas x e y
Antes de qualquer conta, precisamos nomear o que não sabemos: quantos vendedores venderam 10 carros em outubro (x) e quantos venderam 7 (y). Com essas duas incógnitas, conseguimos escrever todas as outras quantidades do problema em função delas.
Por que esta fórmula: Não há fórmula ainda; é apenas a definição das variáveis. A soma x + y = 220 vem do total de vendedores.
De onde vem cada valor: = definição: número de vendedores que venderam 10 carros em outubro · = definição: número de vendedores que venderam 7 carros em outubro · = enunciado: equipe de 220 vendedores
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que x e y são quantidades de vendedores, não de carros — isso confunde na hora de montar as equações de vendas.
Passo 2 — Calcular as vendas de outubro
Com x e y definidos, podemos expressar o total de carros vendidos em outubro: cada um dos x vendedores vendeu 10, e cada um dos y vendeu 7. Essa expressão será usada depois na equação do total.
Por que esta fórmula: É uma simples multiplicação: quantidade de vendedores vezes carros por vendedor, somada para os dois grupos.
De onde vem cada valor: = enunciado: vendedores que venderam 10 carros · = passo 1 · = enunciado: vendedores que venderam 7 carros · = passo 1
NÃO CAIA NESSA!
Trocar os coeficientes: usar 7x + 10y, invertendo os grupos.
Passo 3 — Calcular as vendas adicionais de novembro do grupo que vendeu 10
Em novembro, os vendedores que venderam 10 em outubro venderam mais carros, mas não todos a mesma quantidade: 20% venderam +8, 50% venderam +9 e os demais (30%) venderam +11. Precisamos somar essas contribuições para saber o total adicional desse grupo.
Por que esta fórmula: Cada subgrupo contribui com (porcentagem × x) vendedores vezes a quantidade adicional. Somando as três parcelas, obtemos o total adicional do grupo.
De onde vem cada valor: = enunciado: 20% venderam mais 8 · = passo 1 · = enunciado: mais 8 carros · = enunciado: 50% venderam mais 9 · = enunciado: mais 9 carros · = constante: 100% - 20% - 50% = 30% · = enunciado: os demais venderam mais 11
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar a porcentagem pelo número de vendedores, usando apenas 20% de 8, por exemplo.
Passo 4 — Calcular as vendas adicionais de novembro do grupo que vendeu 7
O outro grupo, que vendeu 7 em outubro, também vendeu mais em novembro: 14 vendedores venderam +12 e os demais (y - 14) venderam +15. Precisamos somar essas duas parcelas.
Por que esta fórmula: A primeira parcela é fixa: 14 × 12. A segunda depende de quantos sobraram: (y - 14) × 15. Somando e simplificando, obtemos uma expressão em função de y.
De onde vem cada valor: = enunciado: 14 venderam mais 12 · = enunciado: mais 12 carros · = passo 1 · = enunciado: os demais venderam mais 15
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de subtrair os 14 vendedores que já venderam 12, usando y em vez de y - 14 na segunda parcela.
Passo 5 — Montar a equação do total vendido
O total de 4694 carros é a soma das vendas de outubro (passo 2) com as vendas adicionais de novembro (passos 3 e 4). Juntando tudo, temos uma equação com as incógnitas x e y.
Por que esta fórmula: O total é a soma de todas as vendas: outubro + novembro. Substituímos as expressões já encontradas.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = passo 3 · = passo 4 · = enunciado: total vendido nos dois meses
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar as vendas de outubro, usando apenas as de novembro.
Passo 6 — Resolver o sistema para achar x
Temos duas equações: x + y = 220 (passo 1) e 19,4x + 22y = 4736 (passo 5). Para descobrir quantos vendedores venderam 10 carros, isolamos y na primeira e substituímos na segunda.
Por que esta fórmula: É o método da substituição: da equação mais simples, expressamos uma incógnita em função da outra e substituímos na equação mais complexa, transformando-a em uma equação de uma variável só.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 1
NÃO CAIA NESSA!
Errar o sinal ao substituir: 22(220 - x) = 4840 - 22x, e não 4840 + 22x.
Passo 7 — Calcular as vendas de outubro com x e y
Agora que sabemos que x = 40 e y = 180, podemos substituir na expressão das vendas de outubro (passo 2) para obter o número pedido.
Por que esta fórmula: É a mesma fórmula do passo 2, agora com os valores conhecidos.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = passo 6: 40 · = passo 2 · = passo 6: 180
NÃO CAIA NESSA!
Usar x = 180 e y = 40, invertendo os grupos — daria 10·180 + 7·40 = 2080, que é uma das alternativas erradas.