Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 323 entregadores — alternativa C.

A ideia por trás

Razão é uma comparação entre duas quantidades por divisão: dizer que a razão entre A e C é 6/11 significa que, para cada 6 entregadores com categoria A, há 11 com categoria C. Quando conhecemos apenas a razão, não sabemos os números exatos, mas sabemos que eles são múltiplos de 6 e 11, respectivamente, por um mesmo fator k.

A propriedade fundamental das proporções diz que, se a/b = c/d, então a·d = b·c. Isso permite transformar uma igualdade de razões em uma equação algébrica. Além disso, quando uma razão é dada como fração irredutível, podemos escrever as quantidades como múltiplos de um fator comum: A = 6k e C = 11k. Esse fator k é o que precisamos descobrir para achar os números reais.

Esta questão pede para usar a razão inicial para expressar A e C em função de um fator k, aplicar as mudanças descritas e usar a razão final para montar uma equação que determine k. Depois, o total é a soma das partes.

O que a questão dá

• razão inicial A/C = 6/11

• 55 entregadores de A passaram a ter também C

• 51 entregadores de C passaram a ter também A

• razão final A/C = 5/8

• total de entregadores não mudou

O que queremos: o número total de entregadores da empresa

Passo 1 — Expressar A e C com um fator comum

A razão inicial nos diz a proporção entre A e C, mas não os valores absolutos. Para trabalhar com eles, usamos um fator de proporcionalidade k: se A/C = 6/11, então A = 6k e C = 11k, onde k é um número inteiro positivo. Isso transforma o problema em encontrar k.

Por que esta fórmula: Essa é a definição de razão: se a razão entre dois números é p/q, então eles podem ser escritos como p·k e q·k, com k sendo o fator de escala.

De onde vem cada valor: $6$ = enunciado: razão inicial A/C = 6/11 · $11$ = enunciado: razão inicial A/C = 6/11 · $k$ = definição: fator de proporcionalidade

Passo 2 — Aplicar as mudanças nas quantidades

Precisamos saber como as quantidades A e C mudam após as transferências. Quando 55 entregadores de A passam a ter também C, eles continuam contando em A, mas agora também contam em C, então C aumenta em 55. Quando 51 entregadores de C passam a ter também A, A aumenta em 51. Portanto, as novas quantidades são A' = A + 51 e C' = C + 55.

Por que esta fórmula: A interpretação correta é que 'passar a ter também' significa que a pessoa agora pertence às duas categorias, então o número de cada categoria aumenta com os que ganharam essa habilitação.

De onde vem cada valor: $51$ = enunciado: 51 entregadores de C passaram a ter também A · $55$ = enunciado: 55 entregadores de A passaram a ter também C

Passo 3 — Montar a equação com a razão final

A razão final entre A e C é 5/8. Substituímos as expressões de A' e C' em função de k e igualamos a 5/8. Isso nos dá uma equação para encontrar k.

Por que esta fórmula: A razão final é dada, então escrevemos A'/C' = 5/8 e substituímos as expressões do passo 2.

De onde vem cada valor: $6k$ = passo 1: A = 6k · $51$ = passo 2: aumento de A · $11k$ = passo 1: C = 11k · $55$ = passo 2: aumento de C

Passo 4 — Resolver a equação para k

Com a equação montada, aplicamos a propriedade fundamental das proporções: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Isso elimina as frações e nos dá uma equação linear simples.

Por que esta fórmula: Se a/b = c/d, então a·d = b·c. Aqui, a = 6k+51, b = 11k+55, c = 5, d = 8.

De onde vem cada valor: $8$ = enunciado: razão final A/C = 5/8 · $6k + 51$ = passo 3: A' · $5$ = enunciado: razão final A/C = 5/8 · $11k + 55$ = passo 3: C'

Passo 5 — Isolar k

Agora temos uma equação do primeiro grau. Precisamos isolar k para descobrir o fator de proporcionalidade.

Por que esta fórmula: Resolvemos a equação linear: primeiro expandimos, depois passamos os termos com k para um lado e os números para o outro.

De onde vem cada valor: $48k$ = passo 4: 8·6k · $408$ = passo 4: 8·51 · $55k$ = passo 4: 5·11k · $275$ = passo 4: 5·55

Passo 6 — Calcular o valor de k

Com a equação simplificada, isolamos k para obter seu valor numérico.

Por que esta fórmula: Subtraímos 48k de ambos os lados e subtraímos 275 de ambos os lados, depois dividimos por 7.

De onde vem cada valor: $133$ = passo 5: 408 - 275 · $7$ = passo 5: 55 - 48

Passo 7 — Calcular o total de entregadores

Com k = 19, podemos encontrar A e C e somá-los para obter o total. Como o total não mudou, essa é a resposta.

Por que esta fórmula: O total é A + C = 6k + 11k = 17k.

De onde vem cada valor: $17$ = passo 1: soma dos coeficientes 6 e 11 · $k$ = passo 6: 19

Resposta: 323 entregadores — alternativa C