Questão de Matemática — Equações de Segundo Grau e Equações Biquadradas — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 16 assistentes — alternativa B.

A ideia por trás

Uma equação do segundo grau é uma igualdade que envolve uma incógnita elevada ao quadrado, como ax² + bx + c = 0. Ela aparece quando um problema tem duas quantidades que se multiplicam e uma delas depende da outra de forma não linear — aqui, o número de assistentes e o número de visitas por assistente se multiplicam para dar um total fixo, e a mudança em um afeta o outro de maneira que gera um termo ao quadrado.

A relação central é que o produto entre o número de assistentes e o número de visitas por assistente é constante (336). Quando um fator diminui (assistentes), o outro aumenta (visitas por assistente) na mesma proporção, mas como a variação é somada (7 visitas a mais), a equação resultante não é linear — ela tem um termo com n². Resolver essa equação dá duas soluções, mas apenas a positiva faz sentido no contexto.

Esta questão pede para montar e resolver uma equação do segundo grau a partir de um problema de divisão. O passo crucial é traduzir as duas situações (equipe completa e equipe reduzida) em duas equações e combiná-las para obter uma equação quadrática.

O que a questão dá

• total de residências visitadas por mês = 336

• número de assistentes em férias = 4

• aumento de visitas por assistente = 7 residências

O que queremos: o número de assistentes da equipe completa

Passo 1 — Definir as incógnitas do problema

Antes de qualquer conta, precisamos nomear o que não sabemos: o número de assistentes da equipe completa e quantas residências cada um visita. Com nomes claros, fica fácil escrever as relações do enunciado.

Passo 2 — Montar a equação da equipe completa

Com as incógnitas definidas, a primeira informação do enunciado — 336 residências no total — vira uma equação. Ela relaciona o número de assistentes com o número de visitas por assistente.

Por que esta fórmula: O total de residências é o produto do número de assistentes pela quantidade que cada um visita. Essa é a definição de divisão: total = quantidade de grupos × tamanho de cada grupo.

De onde vem cada valor: $n$ = definido no passo 1: número de assistentes da equipe completa · $x$ = definido no passo 1: residências visitadas por cada assistente · $336$ = enunciado: total de residências

Passo 3 — Montar a equação da equipe reduzida

A segunda situação do enunciado — com 4 assistentes a menos e 7 visitas a mais por pessoa — também precisa virar equação. Ela usa as mesmas incógnitas, então vamos poder combinar as duas.

Por que esta fórmula: Com 4 a menos, o número de assistentes é n - 4; com 7 a mais por pessoa, cada um visita x + 7. O total continua 336, então o produto desses dois fatores também é 336.

De onde vem cada valor: $n - 4$ = enunciado: 4 assistentes entraram em férias · $x + 7$ = enunciado: cada um visitou 7 residências a mais · $336$ = enunciado: mesmo total de residências

Passo 4 — Substituir x na segunda equação

Temos duas equações com duas incógnitas. Para resolver, precisamos eliminar uma delas. Da primeira equação, isolamos x e o substituímos na segunda, ficando só com n.

Por que esta fórmula: Da equação n·x = 336, dividimos ambos os lados por n para obter x = 336/n. Isso é válido porque n é positivo (número de assistentes).

De onde vem cada valor: $336$ = passo 2 · $n$ = passo 1

Passo 5 — Desenvolver a equação resultante

Agora temos uma equação só com n, mas ela ainda tem fração e parênteses. Precisamos simplificá-la até chegar na forma padrão da equação do segundo grau.

Por que esta fórmula: Substituímos x na equação (n-4)(x+7)=336 e aplicamos a propriedade distributiva: (n-4)·(336/n) + (n-4)·7. Depois simplificamos os termos constantes e movemos tudo para um lado.

De onde vem cada valor: $n - 4$ = passo 3 · $\frac{336}{n}$ = passo 4 · $7$ = enunciado · $336$ = passo 3

Passo 6 — Simplificar até a forma padrão

A equação ainda tem fração e termos espalhados. Para aplicar a fórmula de Bhaskara, precisamos de uma equação do tipo an² + bn + c = 0, sem frações.

Por que esta fórmula: Multiplicamos todos os termos por n para eliminar o denominador, depois reorganizamos e dividimos por 7 para simplificar os coeficientes.

De onde vem cada valor: $n^{2}$ = do desenvolvimento do passo 5 · $-4n$ = do desenvolvimento do passo 5 · $-192$ = do desenvolvimento do passo 5

Passo 7 — Calcular o discriminante

Com a equação na forma padrão, identificamos a, b e c e calculamos o discriminante Δ = b² - 4ac. Ele nos diz quantas soluções reais existem e é necessário para a fórmula de Bhaskara.

Por que esta fórmula: O discriminante é parte da fórmula resolutiva; seu valor indica se há duas raízes (Δ>0), uma (Δ=0) ou nenhuma real (Δ<0).

De onde vem cada valor: $a$ = passo 6: 1 · $b$ = passo 6: -4 · $c$ = passo 6: -192

Passo 8 — Aplicar a fórmula de Bhaskara

Com o discriminante calculado, usamos a fórmula resolutiva para encontrar os valores de n. Como o discriminante é positivo, teremos duas raízes.

Por que esta fórmula: A fórmula n = (-b ± √Δ)/(2a) resolve qualquer equação do segundo grau. Substituímos a, b e Δ e calculamos as duas possibilidades.

De onde vem cada valor: $b$ = passo 6: -4 · $\Delta$ = passo 7: 784 · $a$ = passo 6: 1

n = 16 ou n = -12

Resposta: 16 assistentes — alternativa B