Questão de Matemática — Regra de Três Composta — VUNESP 2024

Regra de Três Composta

Gabarito: letra C — cada pessoa deverá trabalhar 2 horas e 30 minutos por dia. A resolução usa regra de três composta: a área limpa é diretamente proporcional ao número de pessoas, aos dias e às horas diárias, e também à capacidade do equipamento (que aqui dobra). Montando a proporção e isolando as horas, chegamos a 2,5 h.

A regra de três composta é a ferramenta certa quando temos três ou mais grandezas que se relacionam de forma proporcional. No problema, a grandeza que queremos descobrir é a jornada diária (horas por dia). As outras grandezas envolvidas são: a área a ser limpa, o número de pessoas, o número de dias e a eficiência do equipamento. O primeiro passo é identificar quais grandezas são diretamente proporcionais à jornada e quais são inversamente proporcionais.

Vamos pensar: se aumentarmos a área a ser limpa, precisaremos de mais horas de trabalho por dia (diretamente proporcional). Se aumentarmos o número de pessoas, precisaremos de menos horas por dia (inversamente proporcional). Se aumentarmos o número de dias, precisaremos de menos horas por dia (inversamente proporcional). E se o equipamento for mais eficiente (limpar o dobro por hora), precisaremos de menos horas por dia (inversamente proporcional).

Vamos montar a proporção. Chamaremos de $H$ as horas diárias procuradas. A relação fica:

Aqui, multiplicamos as razões das grandezas que são diretamente proporcionais (área) e invertemos as razões das que são inversamente proporcionais (pessoas, dias e eficiência). Agora, vamos simplificar e calcular:

Primeiro, simplificamos $\frac{44800}{21600}$ dividindo por 400: $\frac{112}{54} = \frac{56}{27}$. A expressão fica:

Agora, simplificamos cruzado: $\frac{56}{28} = 2$, $\frac{15}{27} = \frac{5}{9}$, e $\frac{9}{8}$ permanece. A expressão fica:

Cancelamos o 2 com o $\frac{1}{2}$ e o 9 com o 9, sobrando:

Multiplicando cruzado: $8H = 20$, logo $H = 2,5$ horas, ou seja, 2 horas e 30 minutos.

A pegadinha clássica desse tipo de questão é inverter a proporcionalidade de alguma grandeza. Por exemplo, muitos candidatos tratam a eficiência do equipamento como diretamente proporcional, o que levaria a um resultado errado. É fundamental analisar cada grandeza: se ela "ajuda" a fazer o serviço mais rápido, é inversamente proporcional ao tempo; se ela "aumenta" o serviço, é diretamente proporcional.

Guarde o método: identifique a grandeza que você quer descobrir, monte a fração com as outras grandezas (invertendo as que são inversamente proporcionais) e resolva. É exatamente isso que vamos aplicar na análise de cada alternativa.

Alternativa A — ❌ Incorreta

1 hora e 30 minutos (1,5 h) seria o resultado se, por exemplo, a eficiência do equipamento fosse tratada como diretamente proporcional, ou se alguma razão fosse invertida erroneamente. O cálculo correto, como demonstrado, resulta em 2,5 h.

Alternativa B — ❌ Incorreta

2 horas seria o resultado se a razão da eficiência do equipamento fosse ignorada (ou seja, se considerássemos que o equipamento Y tem a mesma eficiência que o X). Como o equipamento Y limpa o dobro, o tempo necessário é menor do que seria sem essa consideração, mas não a ponto de chegar a 2 h.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo correto da regra de três composta, considerando todas as grandezas e suas proporcionalidades, resulta em 2,5 horas, que equivalem a 2 horas e 30 minutos. A conta passo a passo está no desenvolvimento acima.

Alternativa D — ❌ Incorreta

3 horas seria o resultado se a razão do número de dias fosse tratada como diretamente proporcional (em vez de inversamente), ou se houvesse outro erro de inversão. O valor correto é 2,5 h.

Alternativa E — ❌ Incorreta

3 horas e 30 minutos seria o resultado se, além de outros erros, a razão da eficiência do equipamento fosse ignorada e a razão dos dias fosse invertida incorretamente. O valor correto é 2,5 h.

Gabarito: letra C