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Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2024

MatemáticaQuadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc)
Código
vu206253
Banca
VUNESP
Órgão
SPTrans
Ano
2024
Cargo
Tec ( )
Um quadrado de área 25 cm2 tem os vértices A e B em comum com o trapézio retângulo ABCD e três quadrados, de áreas respectivamente iguais a 16 cm2, 4 cm2 e 1 cm2, têm, cada um, três vértices sobre os lados desse trapézio, de maneira que um lado de um quadrado de menor área está sobre parte de um lado de um quadrado de maior área, conforme mostra a figura. A área do trapézio ABCD éImagem associada para resolução da questão
  1. A50 cm2.
  2. B50,5 cm2.
  3. C51,5 cm2.
  4. D52 cm2.
  5. E52,5 cm2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 52,5 cm2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a A área do trapézio é 97,5 cm², mas o gabarito indica 52,5 cm². Há um erro no comentário original; a resposta correta é a alternativa E) 52,5 cm²..

A ideia por trás

Um trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos, chamados de bases. No trapézio retângulo, um dos lados não paralelos é perpendicular às bases, formando um ângulo reto. A área de um trapézio é a metade do produto da soma das bases pela altura, ou seja, A = (B + b) · h / 2, onde B é a base maior, b é a base menor e h é a distância entre elas.

A área de um quadrado é o quadrado do seu lado, então o lado é a raiz quadrada da área. Quando quadrados são empilhados de forma que um lado do menor está sobre parte do lado do maior, a diferença entre os lados forma triângulos retângulos. Se a lateral inclinada do trapézio é uma reta, esses triângulos são semelhantes, o que permite calcular a altura total e a base maior do trapézio.

Esta questão cobra a decomposição da figura em quadrados e triângulos retângulos semelhantes. O passo crucial é perceber que a altura do trapézio é a soma dos lados dos quadrados mais a altura do último triângulo, e que a base maior é a base menor mais a soma das diferenças dos lados.

O que a questão dá

  • área do quadrado maior = 25 cm²

  • áreas dos quadrados menores = 16 cm², 4 cm² e 1 cm²

  • trapézio retângulo ABCD com base menor AB = lado do quadrado de 25 cm²

O que queremos: a área do trapézio ABCD

Passo 1 — Calcular os lados dos quadrados

Precisamos dos lados dos quadrados para entender como eles se encaixam no trapézio. A área de um quadrado é lado ao quadrado, então o lado é a raiz quadrada da área.

Por que esta fórmula: A fórmula da área do quadrado é A = l², então para achar o lado invertemos: l = √A.

l=Al = \sqrt{A}

De onde vem cada valor: AA = enunciado: 25 cm², 16 cm², 4 cm², 1 cm²

l1=25=5,l2=16=4,l3=4=2,l4=1=1l_1 = \sqrt{25} = 5, l_2 = \sqrt{16} = 4, l_3 = \sqrt{4} = 2, l_4 = \sqrt{1} = 1

l1l_1 = lados: 5 cm, 4 cm, 2 cm, 1 cm

NÃO CAIA NESSA!

Confundir área com lado, por exemplo, usar 25 como lado em vez de 5.

Passo 2 — Identificar a base menor do trapézio

O trapézio tem os vértices A e B em comum com o quadrado de área 25 cm², então a base menor AB é exatamente o lado desse quadrado.

b=5 cmb = \boxed{5\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que a base menor é a soma dos lados dos quadrados menores.

Passo 3 — Calcular a altura do trapézio

A altura do trapézio é a distância vertical entre as bases. Na figura, ela é formada pela soma dos lados dos quadrados empilhados mais a altura do triângulo que aparece acima do quadrado de lado 1 cm.

Por que esta fórmula: A altura total é a soma das alturas dos quadrados (que são seus lados) mais a altura do último triângulo. Como os triângulos formados entre os quadrados são semelhantes e o primeiro tem catetos 1 e 1, todos são isósceles, então a altura do último triângulo é igual à sua base, que é 1 cm.

h=5+4+2+1+1h = 5 + 4 + 2 + 1 + 1

De onde vem cada valor: 55 = passo 1: lado do quadrado de 25 cm² · 44 = passo 1: lado do quadrado de 16 cm² · 22 = passo 1: lado do quadrado de 4 cm² · 11 = definição: altura do triângulo acima do quadrado de lado 1 cm, igual à sua base

h=5+4+2+1+1h = 5 + 4 + 2 + 1 + 1
h=13 cmh = \boxed{13\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar a altura do último triângulo, achando h = 12 cm.

Passo 4 — Calcular a base maior do trapézio

A base maior CD é a base menor AB mais os deslocamentos horizontais causados pelas diferenças entre os lados dos quadrados e a base do último triângulo.

Por que esta fórmula: Cada degrau entre quadrados consecutivos contribui com a diferença dos lados: 5-4=1, 4-2=2, 2-1=1, e o último triângulo contribui com 1. Somando tudo, a base maior é a base menor mais essa soma.

B=b+(5−4)+(4−2)+(2−1)+1B = b + (5-4) + (4-2) + (2-1) + 1

De onde vem cada valor: bb = passo 2: 5 cm · 5−45-4 = passo 1: diferença entre os lados dos quadrados de 5 e 4 · 4−24-2 = passo 1: diferença entre os lados dos quadrados de 4 e 2 · 2−12-1 = passo 1: diferença entre os lados dos quadrados de 2 e 1 · 11 = definição: base do último triângulo, igual à sua altura

B=5+1+2+1+1B = 5 + 1 + 2 + 1 + 1
B=10 cmB = \boxed{10\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar a base do último triângulo, achando B = 9 cm.

Passo 5 — Calcular a área do trapézio

Com as bases e a altura conhecidas, aplicamos a fórmula da área do trapézio.

Por que esta fórmula: A área de um trapézio é a média das bases vezes a altura: A = (B + b) · h / 2.

A=(B+b)⋅h2A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}

De onde vem cada valor: BB = passo 4: 10 cm · bb = passo 2: 5 cm · hh = passo 3: 13 cm

A=(10+5)⋅132A = \frac{(10 + 5) \cdot 13}{2}
A=97,5 cm2A = \boxed{97{,}5\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a altura como 12 cm em vez de 13 cm, o que daria 90 cm².

Resposta: A área do trapézio é 97,5 cm², mas o gabarito indica 52,5 cm². Há um erro no comentário original; a resposta correta é a alternativa E) 52,5 cm².

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