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Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — VUNESP 2024

MatemáticaProporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais
Código
vu206255
Banca
VUNESP
Órgão
SPTrans
Ano
2024
Cargo
Ana Ges Pl ( )
No início de certo ano, um estacionamento oferecia 120 vagas para aluguel mensal e 200 vagas no sistema rotativo (cobrança por hora). Após uma ampliação, esse estacionamento passou a oferecer mais 160 vagas, sendo parte de aluguel mensal e parte de vagas rotativas, de maneira que a razão entre o número total de vagas para aluguel mensal e o número total de vagas rotativas passou a ser 2/3. O número de novas vagas rotativas na ampliação foi
  1. A56.
  2. B64.
  3. C72.
  4. D80.
  5. E88.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 88.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 88 novas vagas rotativas — alternativa E.

A ideia por trás

Razão é a comparação entre duas grandezas por meio de uma divisão. Quando dizemos que a razão entre o total de vagas mensais e o total de vagas rotativas é 2/3, isso significa que, após a ampliação, o número de vagas mensais dividido pelo número de vagas rotativas é igual a 2/3. Essa igualdade entre duas razões é chamada de proporção, e dela podemos extrair uma equação para descobrir o valor desconhecido.

A propriedade fundamental das proporções diz que, se a/b = c/d, então a·d = b·c (multiplicação em cruz). Isso vale porque as duas frações representam o mesmo valor, então os produtos cruzados são iguais. Essa propriedade é o que nos permite transformar a razão dada em uma equação algébrica simples de resolver.

Aqui, a incógnita é o número de novas vagas rotativas. Precisamos expressar os totais de vagas mensais e rotativas após a ampliação em função dessa incógnita, montar a proporção com a razão 2/3 e resolvê-la.

O que a questão dá

  • vagas mensais iniciais = 120

  • vagas rotativas iniciais = 200

  • novas vagas totais = 160

  • razão final mensais/rotativas = 2/3

O que queremos: o número de novas vagas rotativas

Passo 1 — Definir a incógnita e expressar os totais

Para montar a equação, precisamos de uma variável que represente o que queremos descobrir. Chamando de x o número de novas vagas rotativas, as novas vagas mensais são 160 - x, pois a soma das novas vagas é 160. Assim, os totais após a ampliação ficam: mensais = 120 + (160 - x) = 280 - x, e rotativas = 200 + x.

Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui, apenas a tradução do enunciado em expressões algébricas. O total de vagas mensais é a soma das iniciais com as novas mensais; o total de rotativas é a soma das iniciais com as novas rotativas.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar as vagas antigas com as novas, usando apenas as 160 vagas da ampliação na razão. A razão é entre os totais após a ampliação.

Passo 2 — Montar a proporção com a razão dada

Agora que temos os totais em função de x, podemos aplicar a condição do enunciado: a razão entre o total mensal e o total rotativo é 2/3. Isso nos dá a equação que relaciona x com os dados.

Por que esta fórmula: A razão é uma divisão, então escrevemos (total mensal) / (total rotativo) = 2/3. Essa é a equação que precisamos resolver.

280−x200+x=23\frac{280 - x}{200 + x} = \frac{2}{3}

De onde vem cada valor: 280−x280 - x = passo 1: total de vagas mensais após ampliação · 200+x200 + x = passo 1: total de vagas rotativas após ampliação · 22 = enunciado: razão final 2/3 · 33 = enunciado: razão final 2/3

280−x200+x=23\frac{280 - x}{200 + x} = \frac{2}{3}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão, colocando (200+x)/(280-x) = 2/3. O enunciado é explícito: razão entre mensais e rotativas, então mensais no numerador.

Passo 3 — Multiplicar em cruz

A equação tem frações dos dois lados. Multiplicar em cruz elimina os denominadores e transforma a proporção em uma equação linear simples, que sabemos resolver.

Por que esta fórmula: Pela propriedade fundamental das proporções, se a/b = c/d, então a·d = b·c. Aqui, a = 280 - x, b = 200 + x, c = 2, d = 3.

3⋅(280−x)=2⋅(200+x)3 \cdot (280 - x) = 2 \cdot (200 + x)

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: denominador da razão 2/3 · 280−x280 - x = passo 2: numerador da fração · 22 = enunciado: numerador da razão 2/3 · 200+x200 + x = passo 2: denominador da fração

3⋅(280−x)=2⋅(200+x)3 \cdot (280 - x) = 2 \cdot (200 + x)
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar apenas um lado ou esquecer de distribuir o número para todos os termos dentro dos parênteses.

Passo 4 — Resolver a equação para x

Com a equação linear, isolamos x para encontrar o número de novas vagas rotativas. Isso é feito com operações algébricas básicas: distribuir, juntar termos semelhantes e dividir.

Por que esta fórmula: A equação é do primeiro grau; resolvemos isolando x de um lado. Distribuímos os números, movemos os termos com x para um lado e as constantes para o outro, e dividimos pelo coeficiente de x.

x=4405x = \frac{440}{5}

De onde vem cada valor: 440440 = passo 3: 840 - 400 = 440 · 55 = passo 3: 2x + 3x = 5x

x=4405=88x = \frac{440}{5} = \boxed{88}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao mover termos: por exemplo, escrever 840 - 400 = 2x - 3x, o que daria x negativo.

Resposta: 88 novas vagas rotativas — alternativa E

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