Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a A área do quadrado Q é 36 cm² — alternativa C.

A ideia por trás

Perímetro é a medida do contorno de uma figura plana: soma-se o comprimento de todos os seus lados. Para um triângulo equilátero, os três lados são iguais, então o perímetro é 3 vezes o lado; para um quadrado, os quatro lados são iguais, então o perímetro é 4 vezes o lado; para um retângulo, os lados opostos são iguais, então o perímetro é 2 vezes a soma dos dois lados diferentes. Área de um quadrado é o produto do lado por ele mesmo, ou seja, lado ao quadrado.

As relações que governam são as fórmulas de perímetro: P_triângulo = 3x, P_quadrado = 4y, P_retângulo = 2(x + y). Elas vêm da definição de perímetro como soma dos lados. Quando uma grandeza cresce, o perímetro cresce proporcionalmente: dobrar o lado dobra o perímetro. A área do quadrado é A = y², que cresce com o quadrado do lado: dobrar o lado quadruplica a área.

Esta questão cobra a montagem de um sistema de equações a partir das informações de perímetro, e depois o cálculo da área. O passo crucial é traduzir cada frase do enunciado em uma equação, e depois resolver o sistema para achar y.

O que a questão dá

• lado do triângulo equilátero = x cm

• lado do quadrado = y cm

• soma dos perímetros do triângulo e do quadrado = 45 cm

• perímetro do retângulo de lados x e y = 26 cm

O que queremos: a área do quadrado Q

Passo 1 — Montar a equação da soma dos perímetros

O enunciado dá duas informações sobre perímetros; cada uma vira uma equação. A primeira é a soma dos perímetros do triângulo e do quadrado igual a 45 cm. Precisamos expressar cada perímetro em função dos lados x e y.

Por que esta fórmula: O perímetro do triângulo equilátero é 3x porque ele tem três lados iguais a x. O perímetro do quadrado é 4y porque tem quatro lados iguais a y. Somando os dois e igualando a 45, temos a primeira equação.

De onde vem cada valor: $3x$ = definição: perímetro do triângulo equilátero = 3 × lado · $4y$ = definição: perímetro do quadrado = 4 × lado · $45$ = enunciado: soma dos perímetros = 45 cm

Passo 2 — Montar a equação do perímetro do retângulo

A segunda informação do enunciado é o perímetro do retângulo de lados x e y igual a 26 cm. Isso gera a segunda equação do sistema.

Por que esta fórmula: O retângulo tem dois lados de medida x e dois de medida y, então o perímetro é 2x + 2y, que pode ser escrito como 2(x + y). Igualando a 26, temos a segunda equação.

De onde vem cada valor: $2(x + y)$ = definição: perímetro do retângulo = 2 × (soma dos lados diferentes) · $26$ = enunciado: perímetro do retângulo = 26 cm

Passo 3 — Simplificar a equação do retângulo

Para resolver o sistema, é conveniente simplificar a segunda equação dividindo ambos os lados por 2, obtendo uma relação mais direta entre x e y.

Por que esta fórmula: Dividir uma equação por um número não altera a igualdade; isso isola a soma x + y, que será útil para substituição.

De onde vem cada valor: $x + y$ = passo 2: dividindo 2(x + y) = 26 por 2 · $13$ = passo 2: 26 ÷ 2

Passo 4 — Isolar x em função de y

Com a equação simplificada, podemos expressar x em termos de y, o que permitirá substituir na primeira equação e resolver para y.

Por que esta fórmula: Da equação x + y = 13, subtraímos y de ambos os lados para isolar x.

De onde vem cada valor: $13$ = passo 3 · $y$ = enunciado: lado do quadrado

Passo 5 — Substituir x na primeira equação

Agora temos x em função de y; substituímos na equação 3x + 4y = 45 para obter uma equação apenas com y.

Por que esta fórmula: Substituição é um método de resolução de sistemas: trocamos a variável x pela expressão equivalente, reduzindo o sistema a uma equação de uma incógnita.

De onde vem cada valor: $3(13 - y)$ = passo 4: substituição de x por 13 - y na equação 3x + 4y = 45 · $4y$ = passo 1: termo original da primeira equação · $45$ = passo 1

Passo 6 — Resolver a equação para y

Com a equação em uma variável, aplicamos operações algébricas para isolar y e encontrar seu valor.

Por que esta fórmula: Primeiro aplicamos a distributiva, depois combinamos termos semelhantes e isolamos y.

De onde vem cada valor: $39$ = passo 5: 3 × 13 · $-3y + 4y$ = passo 5: combinação dos termos com y · $45$ = passo 5

Passo 7 — Calcular a área do quadrado

A pergunta é pela área do quadrado, não pelo lado. Com y = 6 cm, aplicamos a fórmula da área do quadrado.

Por que esta fórmula: A área de um quadrado é o produto do lado por ele mesmo, ou seja, lado ao quadrado.

De onde vem cada valor: $y$ = passo 6: 6 cm

Resposta: A área do quadrado Q é 36 cm² — alternativa C