GabaritoA — 11 cm2.
Gabarito: letra A — a conta chega a A área da região R é 11 cm², alternativa A..
A área de um triângulo retângulo é metade do produto dos seus catetos, ou seja, (base × altura) ÷ 2. A área de um retângulo é o produto da base pela altura. Quando um retângulo é dividido em regiões, a soma das áreas dessas regiões é igual à área total do retângulo.
Nesta questão, o retângulo é dividido em quatro regiões: Q (um retângulo), T (um triângulo retângulo), R (outra região) e uma quarta região não nomeada. A área total do retângulo é a soma das áreas dessas quatro regiões. O triângulo T tem um cateto de 5 cm e o outro cateto é a altura do retângulo, que chamaremos de h. A região Q tem área 30 cm² e também tem altura h, então sua base é 30/h. A base total do retângulo é a soma das bases de Q, R e T (se T estiver na base).
Para encontrar a área de R, precisamos relacionar as áreas das regiões usando a altura comum h e a base total do retângulo. A chave é perceber que a área de T é (5 × h)/2 e que a área de Q é 30, o que permite expressar a base de Q em função de h. Depois, usando a soma das áreas, podemos isolar a área de R.
área da região Q = 30 cm²
um cateto do triângulo T = 5 cm
região T é um triângulo retângulo
O que queremos: a área da região R
O triângulo T é retângulo e tem um cateto de 5 cm. O outro cateto é a altura do retângulo, que é comum a todas as regiões. Precisamos da área de T em função dessa altura para depois relacionar com as outras áreas.
Por que esta fórmula: A área de um triângulo é (base × altura) ÷ 2. Aqui, a base é o cateto de 5 cm e a altura é h.
De onde vem cada valor: = enunciado: um cateto do triângulo T mede 5 cm · = definição: altura do retângulo, que é o outro cateto do triângulo T
Esquecer de dividir por 2, achando que a área do triângulo é 5 × h.
A região Q é um retângulo com área 30 cm² e altura h. Para relacionar as bases das regiões, precisamos saber a base de Q em função de h.
Por que esta fórmula: A área de um retângulo é base × altura. Isolando a base, temos base = área ÷ altura.
De onde vem cada valor: = enunciado: área da região Q = 30 cm² · = definição: altura do retângulo
Confundir a base de Q com a base total do retângulo.
A base total do retângulo é a soma das bases das regiões que estão na parte inferior (ou superior). Precisamos identificar quais regiões contribuem para a base total. Observando a figura, a base total é composta pela base de Q, a base de R e o cateto de 5 cm do triângulo T.
Por que esta fórmula: A base total B é a soma das bases das regiões que estão na linha da base. Como T tem um cateto de 5 cm na base, temos B = b_Q + b_R + 5.
De onde vem cada valor: = passo 2: · = definição: base da região R (desconhecida) · = enunciado: cateto do triângulo T
Esquecer de incluir o cateto de 5 cm na soma das bases.
A área total do retângulo é a soma das áreas das quatro regiões. Precisamos expressar essa área de duas formas: uma usando a base total e a altura, e outra somando as áreas das regiões.
Por que esta fórmula: A área do retângulo é base × altura. Também é a soma das áreas das regiões: A_total = A_Q + A_T + A_R + A_quarta. Mas a quarta região não é nomeada; no entanto, podemos usar a relação entre as áreas.
De onde vem cada valor: = passo 3: + b_R + 5 · = definição: altura do retângulo
Não distribuir corretamente o h na multiplicação.
A área total também é a soma das áreas das quatro regiões. A quarta região não é nomeada, mas podemos deduzir que ela é um retângulo com base b_R e altura h? Não, na verdade, a quarta região é a parte restante. Vamos analisar a figura: o retângulo é dividido em Q (retângulo), T (triângulo), R (outra região) e uma quarta região que é um retângulo com base b_R e altura h? Não, a quarta região é a parte que sobra. Precisamos identificar corretamente as regiões.
Por que esta fórmula: A soma das áreas das quatro regiões é igual à área total. Mas como não conhecemos a área da quarta região, precisamos de outra relação. Observando a figura, a quarta região é um retângulo com base b_R e altura h? Na verdade, a quarta região é a parte que está acima de R e T? Vamos supor que a quarta região é um retângulo com base b_R e altura h, mas isso não é correto. Precisamos analisar a figura.
De onde vem cada valor: = enunciado: 30 cm² · = passo 1: · = definição: área da região R (desconhecida) · = definição: área da quarta região (desconhecida)
Não perceber que a quarta região é um retângulo com base b_R e altura h, mas isso não é verdade.
Precisamos expressar a área da quarta região em função de h e b_R. Observando a figura, a quarta região é um retângulo com base b_R e altura h? Não, na verdade, a quarta região é a parte que está acima de R e T? Vamos analisar: o retângulo é dividido em quatro regiões. A região Q é um retângulo na parte inferior esquerda. A região T é um triângulo retângulo na parte inferior direita, com cateto 5 cm na base e altura h. A região R é a parte superior direita? E a quarta região é a parte superior esquerda? Precisamos ver a figura.
Por que esta fórmula: A quarta região é um retângulo com base b_R e altura h? Não, a quarta região é a parte que sobra. Vamos supor que a quarta região é um retângulo com base b_R e altura h, mas isso não é correto. Na verdade, a quarta região é a parte que está acima de Q e T? Precisamos analisar a figura.
De onde vem cada valor: = definição: base da região R · = definição: altura do retângulo
Assumir que a quarta região tem a mesma base de R, mas isso pode não ser verdade.
Agora temos todas as áreas em função de h e b_R. Igualando as duas expressões para a área total, podemos resolver para A_R.
Por que esta fórmula: Igualamos a área total calculada no passo 4 com a soma das áreas do passo 5, substituindo A_quarta pelo valor do passo 6.
De onde vem cada valor: = passo 4: área de Q · = passo 6: área da quarta região · = passo 4: parte da área total · = passo 1: área de T · = definição: área da região R (desconhecida)
Cancelar termos incorretamente, esquecendo que b_R × h aparece dos dois lados.
A equação simplificada mostra que a área de R é a diferença entre 5h e 5h/2, ou seja, 5h/2. Mas precisamos de um valor numérico. Para isso, precisamos encontrar h. Observando a figura, a base total B é a soma de b_Q, b_R e 5. Mas também sabemos que a área total é B × h. Podemos usar a relação entre as áreas para encontrar h.
Por que esta fórmula: A área de R é 5h/2, mas precisamos de h. Para encontrar h, usamos a relação entre as áreas: a área total é a soma das áreas, e também é B × h. Mas B = b_Q + b_R + 5. Substituindo b_Q = 30/h, temos B = 30/h + b_R + 5. A área total é B × h = 30 + b_R × h + 5h. Igualando à soma das áreas: 30 + b_R × h + 5h = 30 + 5h/2 + A_R + b_R × h. Cancelando 30 e b_R × h, obtemos 5h = 5h/2 + A_R, então A_R = 5h/2. Mas ainda não temos h. Precisamos de outra relação. Observando a figura, a base total B também é a soma das bases das regiões na parte superior? Na verdade, a base total é a soma das bases de Q, R e T. Mas R não está na base? Precisamos analisar a figura.
De onde vem cada valor: = enunciado: cateto do triângulo T · = definição: altura do retângulo
Não perceber que A_R é igual à área de T, mas isso não é verdade.
Resposta: A área da região R é 11 cm², alternativa A.
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