GabaritoC — 62,5%.
Gabarito: letra C — a conta chega a 62,5% — alternativa C.
A área de uma figura plana é a medida da superfície que ela cobre, em unidades quadradas. Para um quadrado de lado L, a área é L². Quando temos um polígono irregular dentro do quadrado, uma estratégia poderosa é dividir a figura em partes menores e conhecidas — como triângulos — e somar as áreas dessas partes.
A área de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos: A = (cateto1 × cateto2) / 2. Se dividirmos o quadrado em uma malha de quadradinhos iguais e depois traçarmos as diagonais desses quadradinhos, obtemos triângulos retângulos isósceles congruentes, todos com a mesma área. A área total do quadrado é a soma das áreas de todos esses triângulos.
Esta questão pede para comparar a área de um polígono 'em escada' com a área do quadrado. A ideia é dividir o quadrado em triângulos retângulos isósceles congruentes e contar quantos deles o polígono cobre.
ABCD é um quadrado
EF, FG, GH, HI, IJ, JK têm a mesma medida
F, H e J estão sobre a diagonal BD
O que queremos: a fração da área do quadrado ocupada pelo polígono BCDEFGHIJK
Para comparar áreas, precisamos de uma unidade comum. Como os segmentos EF, FG, GH, HI, IJ, JK são todos iguais, o lado do quadrado fica dividido em 4 partes iguais. Traçando linhas paralelas aos lados a cada 1/4 do lado, obtemos 16 quadradinhos. Cada quadradinho, cortado por uma diagonal, vira 2 triângulos retângulos isósceles. Assim, o quadrado inteiro fica dividido em 32 triângulos, mas podemos agrupar de 2 em 2 para formar 16 triângulos maiores, cada um com área 1/16 do quadrado.
Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui; é uma construção geométrica. A divisão em 16 partes iguais é natural porque o lado foi dividido em 4 segmentos iguais, e 4×4 = 16.
16 triângulos congruentes
Dividir o quadrado em 8 ou 32 triângulos sem critério, o que dificulta a contagem.
Agora que temos uma unidade de área, basta ver quantos desses triângulos formam o polígono BCDEFGHIJK. O polígono é uma 'escada' que vai de B até D, passando por C. Ele cobre o triângulo BCD (metade do quadrado) e mais alguns triângulos ao longo da diagonal.
Por que esta fórmula: A contagem é visual: o polígono é formado pelo triângulo BCD (que são 8 dos 16 triângulos) e por 2 triângulos adicionais em cada degrau da escada. Como há 4 degraus (de B a F, F a H, H a J, J a D), e cada degrau adiciona 2 triângulos, temos 8 + 4×2 = 16? Não, cuidado: na verdade, o polígono cobre 10 dos 16 triângulos. Vamos contar: o triângulo BCD cobre 8 triângulos. Cada degrau da escada adiciona 1 triângulo (o que fica entre a diagonal e a escada). Como são 4 degraus, adicionamos 4 triângulos, totalizando 12? Não, vamos refazer: a escada BCDEFGHIJK é formada por segmentos horizontais e verticais. Cada 'degrau' forma um triângulo retângulo isósceles com a diagonal. Há 4 desses triângulos (um para cada degrau). O polígono é a união do triângulo BCD com esses 4 triângulos. Mas o triângulo BCD já inclui a metade do quadrado, que são 8 triângulos. Os 4 triângulos adicionais são os que ficam 'fora' do triângulo BCD, ao longo da diagonal. Cada um desses triângulos tem área 1/16 do quadrado? Não, cada um tem área 1/32 do quadrado, pois são metade de um quadradinho. Então o polígono tem área 8/16 + 4/32 = 8/16 + 2/16 = 10/16 = 5/8. Portanto, são 10 dos 16 triângulos.
Contar 12 ou 14 triângulos por não perceber que os triângulos dos degraus são menores (metade de um quadradinho).
Com a contagem feita, a fração é direta: o polígono ocupa 10 dos 16 triângulos, então a fração é 10/16. Precisamos simplificar e converter para porcentagem.
Por que esta fórmula: A fração da área é o número de partes ocupadas dividido pelo número total de partes. Como todas as partes têm a mesma área, a fração é simplesmente a razão entre as contagens.
De onde vem cada valor: = passo 2: triângulos do polígono · = passo 1: triângulos totais
5/8 = 0,625 = 62,5%
Esquecer de simplificar e marcar 10/16 como 10,16% ou errar a conversão para porcentagem.
Resposta: 62,5% — alternativa C
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