Questão de Matemática — Área e Perímetro de Um Polígono Qualquer — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a Perímetro = 50 unidades de comprimento. Nenhuma alternativa corresponde a 50, então há um erro no gabarito ou na interpretação da figura. O gabarito indica 64, mas com os dados fornecidos e a análise das projeções, o perímetro é 50..

A ideia por trás

O perímetro de um polígono é a soma das medidas de todos os seus lados. No caso, o polígono ABCDEF tem seis lados: AB, BC, CD, DE, EF e FA. Alguns lados são dados diretamente, mas outros precisam ser deduzidos a partir das medidas fornecidas e da geometria da figura.

Em um polígono, os lados são segmentos que se conectam. Quando o polígono tem ângulos retos, as projeções horizontais e verticais dos lados se equilibram: a soma das projeções horizontais para a direita é igual à soma das projeções horizontais para a esquerda, e o mesmo vale para as verticais. Isso permite encontrar lados desconhecidos a partir de lados conhecidos.

Esta questão cobra exatamente isso: usar o equilíbrio das projeções para descobrir os lados CD e DE, que não foram dados, e então somar todos os lados para obter o perímetro.

O que a questão dá

• AB = 4

• BC = 3

• AD = 12

• EF = 25

• AF = 7

O que queremos: a medida do contorno (perímetro) do polígono ABCDEF

Passo 1 — Descobrir o lado CD

O lado CD não foi dado, mas a figura mostra que ele é paralelo a AF. Como o polígono é fechado, a projeção horizontal de AF deve ser igual à projeção horizontal de CD. Como AF = 7, então CD = 7.

Por que esta fórmula: Não há fórmula, é uma propriedade geométrica: em um polígono com lados perpendiculares, as projeções horizontais se equilibram.

De onde vem cada valor: $AF$ = enunciado: 7

Passo 2 — Descobrir o lado DE

O lado DE também não foi dado, mas a figura mostra que ele é paralelo a AB. Como o polígono é fechado, a projeção vertical de AB deve ser igual à projeção vertical de DE. Como AB = 4, então DE = 4.

Por que esta fórmula: Mesma propriedade: as projeções verticais se equilibram.

De onde vem cada valor: $AB$ = enunciado: 4

Passo 3 — Somar todos os lados

Agora que conhecemos todos os seis lados, o perímetro é a soma deles. Essa é a definição de perímetro.

Por que esta fórmula: Perímetro de um polígono é a soma das medidas de todos os seus lados.

De onde vem cada valor: $AB$ = enunciado: 4 · $BC$ = enunciado: 3 · $CD$ = passo 1: 7 · $DE$ = passo 2: 4 · $EF$ = enunciado: 25 · $FA$ = enunciado: 7

Resposta: Perímetro = 50 unidades de comprimento. Nenhuma alternativa corresponde a 50, então há um erro no gabarito ou na interpretação da figura. O gabarito indica 64, mas com os dados fornecidos e a análise das projeções, o perímetro é 50.