Questão de Matemática — Equações de Primeiro Grau — VUNESP 2024
Matemática›Equações de Primeiro Grau
Código
vu206266
Banca
VUNESP
Órgão
SBCPREV
Ano
2024
Cargo
Ag Prev ( )
Carla foi a um centro de brinquedos eletrônicos. O custo unitário para uso das atrações desse centro é de R$ 5 para certa categoria de brinquedos e R$ 12 para as demais categorias. Para brincar em 31 atrações diferentes, Carla gastou um total de R$ 316, logo, o número de vezes que ela brincou em uma atração, cujo valor individual é R$ 12, excedeu o número de vezes que ela brincou em uma atração cujo valor individual é R$ 5 em
A7.
B9.
C11.
D13.
E15.
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GabaritoE — 15.
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Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a 15 — alternativa E.
A ideia por trás
Uma equação de primeiro grau é uma igualdade que envolve uma incógnita (um número desconhecido) e que fica verdadeira apenas para um valor específico dessa incógnita. Quando o problema tem duas incógnitas e duas informações independentes, montamos um sistema de duas equações: cada equação representa uma condição do problema, e a solução é o par de números que satisfaz as duas ao mesmo tempo.
Em um sistema linear, cada equação é uma relação entre as incógnitas. Por exemplo, se x é a quantidade de um item e y a de outro, a equação x + y = total de itens soma as quantidades, enquanto a equação preço1·x + preço2·y = total gasto soma os valores. A solução do sistema é o par (x, y) que torna ambas as equações verdadeiras. Para resolver, podemos isolar uma incógnita em uma equação e substituir na outra, transformando o sistema em uma única equação com uma incógnita.
Esta questão apresenta exatamente esse cenário: duas categorias com preços diferentes, um total de itens e um total de valor. O que se pede é a diferença entre as quantidades, que sai direto da solução do sistema.
O que a questão dá
custo de uma atração da categoria barata = R$ 5
custo de uma atração da categoria cara = R$ 12
total de atrações = 31
total gasto = R$ 316
O que queremos: a diferença entre o número de vezes que Carla brincou nas atrações de R$ 12 e o número de vezes nas de R$ 5
Passo 1 — Definir as incógnitas
Antes de montar qualquer equação, precisamos nomear o que não sabemos: quantas vezes Carla brincou em cada categoria. Isso transforma o problema em linguagem matemática.
NÃO CAIA NESSA!
Trocar as incógnitas: usar x para a cara e y para a barata, o que não muda a resposta final, mas pode confundir na hora de montar as equações.
Passo 2 — Montar a equação do total de atrações
A primeira informação é que Carla brincou em 31 atrações no total. Isso significa que a soma das vezes nas duas categorias é 31.
Por que esta fórmula: A equação x + y = 31 representa a contagem de atrações: cada vez que ela brinca em uma atração de R$ 5 conta como 1, e cada vez em uma de R$ 12 também conta como 1. Somando as duas quantidades, temos o total de 31.
De onde vem cada valor: = definido no passo 1: número de vezes nas atrações de R$ 5 · = definido no passo 1: número de vezes nas atrações de R$ 12 · = enunciado: total de atrações
NÃO CAIA NESSA!
Colocar os preços nesta equação, como 5x + 12y = 31, misturando quantidade com valor.
Passo 3 — Montar a equação do total gasto
A segunda informação é o valor total gasto: R$ 316. Cada atração de R$ 5 contribui com 5 reais por vez, e cada uma de R$ 12 contribui com 12 reais. Somando essas contribuições, obtemos o total.
Por que esta fórmula: A equação 5x + 12y = 316 representa o dinheiro gasto: 5 vezes o número de atrações baratas mais 12 vezes o número de atrações caras é igual ao total pago.
De onde vem cada valor: = enunciado: custo da atração barata · = passo 1: número de vezes nas atrações de R$ 5 · = enunciado: custo da atração cara · = passo 1: número de vezes nas atrações de R$ 12 · = enunciado: total gasto
NÃO CAIA NESSA!
Inverter os coeficientes: usar 12x + 5y = 316, o que levaria a uma solução errada.
Passo 4 — Isolar uma incógnita na primeira equação
Para resolver o sistema, precisamos reduzir a duas equações com duas incógnitas a uma equação com uma incógnita. Isolando x na equação mais simples, podemos substituí-lo na outra.
Por que esta fórmula: Da equação x + y = 31, subtraímos y dos dois lados para deixar x sozinho: x = 31 - y.
De onde vem cada valor: = passo 2: total de atrações · = passo 1: número de vezes nas atrações de R$ 12
NÃO CAIA NESSA!
Isolar y em vez de x, o que também funciona, mas pode gerar confusão se não for consistente.
Passo 5 — Substituir na equação do gasto
Agora que x está em função de y, substituímos essa expressão na segunda equação. Isso elimina x e deixa uma equação só com y, que podemos resolver.
Por que esta fórmula: Substituindo x por 31 - y na equação 5x + 12y = 316, obtemos 5(31 - y) + 12y = 316. Isso é válido porque x e 31 - y são a mesma coisa.
De onde vem cada valor: = passo 3: custo da atração barata · = passo 4: expressão para x · = passo 3: custo da atração cara · = passo 1: número de vezes nas atrações de R$ 12 · = passo 3: total gasto
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar o 5 por ambos os termos dentro do parêntese, resultando em 155 - 5y + 12y = 316, o que está correto, mas se esquecer do -5y, o cálculo falha.
Passo 6 — Resolver a equação para y
Com uma equação só com y, aplicamos as operações inversas para isolar y e descobrir quantas vezes ela brincou nas atrações de R$ 12.
Por que esta fórmula: Primeiro distribuímos o 5: 155 - 5y + 12y = 316. Depois combinamos os termos com y: -5y + 12y = 7y, ficando 155 + 7y = 316. Subtraímos 155 dos dois lados: 7y = 161. Por fim, dividimos por 7: y = 23.
De onde vem cada valor: = passo 3: total gasto · = passo 5: 5 × 31 · = passo 5: 12 - 5
NÃO CAIA NESSA!
Errar a subtração 316 - 155, ou dividir 161 por 7 incorretamente.
Passo 7 — Calcular x usando a primeira equação
Já sabemos y, mas precisamos de x para responder a diferença. Usamos a equação do total de atrações, que relaciona x e y.
Por que esta fórmula: Da equação x + y = 31, isolamos x: x = 31 - y. Substituindo y por 23, temos x = 31 - 23 = 8.
De onde vem cada valor: = passo 2: total de atrações · = passo 6: 23
NÃO CAIA NESSA!
Usar a equação do gasto para achar x, o que daria um valor diferente e errado.
Passo 8 — Calcular a diferença pedida
A pergunta final é quanto o número de vezes nas atrações de R$ 12 excedeu o das de R$ 5. Isso é a subtração y - x.
Por que esta fórmula: A diferença é simplesmente y - x, pois queremos o quanto o maior supera o menor.
De onde vem cada valor: = passo 6: 23 · = passo 7: 8
NÃO CAIA NESSA!
Calcular x - y, que daria -15, ou confundir a ordem da subtração.