Questão de Matemática — Regra de Três Simples — VUNESP 2024

Regra de Três Simples: Problemas com Tempo e Trabalho

Gabarito: letra B — juntos, Marcelo e Ricardo executam o serviço em 1 hora e 12 minutos. A resolução usa a regra de três inversa: quanto mais pessoas trabalhando, menos tempo é necessário, então somamos as produtividades individuais (frações do trabalho por minuto) e invertemos o resultado.

A ideia por trás

Quando duas pessoas trabalham juntas, cada uma contribui com uma fração do serviço por unidade de tempo. A produtividade de Marcelo é 1/153 do trabalho por minuto (pois ele faz tudo em 153 minutos), e a de Ricardo é 1/136 do trabalho por minuto (pois ele faz tudo em 136 minutos). Somando as produtividades, obtemos a fração do trabalho que eles fazem juntos por minuto. O tempo total é o inverso dessa soma.

Vamos converter os tempos para minutos:

• Marcelo: 2 horas e 33 minutos = 2 × 60 + 33 = 153 minutos.

• Ricardo: 2 horas e 16 minutos = 2 × 60 + 16 = 136 minutos.

A produtividade conjunta é:

O tempo total é o inverso:

72 minutos = 1 hora e 12 minutos, que corresponde à alternativa B.

Por que a regra é inversa?

Em problemas de tempo e trabalho, a relação entre o número de trabalhadores e o tempo é inversamente proporcional: se você dobra a quantidade de pessoas, o tempo cai pela metade (supondo produtividades iguais). Aqui, as produtividades são diferentes, então somamos as frações individuais. A pegadinha comum é tentar calcular a média aritmética dos tempos (153 + 136)/2 = 144,5 minutos, o que daria 2 horas e 24 minutos — exatamente a alternativa E. Mas isso está errado, pois a média aritmética só funcionaria se as produtividades fossem iguais e o trabalho fosse dividido igualmente, o que não é o caso.

Exemplo prático

Imagine que Marcelo e Ricardo precisam pintar uma parede. Marcelo pinta a parede inteira em 153 minutos, então em 1 minuto ele pinta 1/153 da parede. Ricardo pinta em 136 minutos, então em 1 minuto ele pinta 1/136. Juntos, em 1 minuto, pintam 1/153 + 1/136 = 289/20808 da parede. Para pintar a parede inteira (1), precisam de 20808/289 = 72 minutos.

A distinção que importa

A confusão clássica é entre média aritmética e média harmônica. Para problemas de tempo e trabalho, a média correta é a harmônica, que é o inverso da média aritmética dos inversos. A média aritmética dos tempos (144,5 min) é um distrator clássico, pois parece intuitiva, mas não reflete a soma das produtividades.

A pegadinha da banca

A banca explora exatamente essa confusão: o candidato que calcula a média aritmética cai na alternativa E (2h24min). O raciocínio correto é sempre somar as frações do trabalho por unidade de tempo e inverter.

Alternativa A — ❌ Incorreta

49 minutos é um valor muito baixo. Se Marcelo sozinho leva 153 minutos, juntos não podem levar menos que a metade do menor tempo individual (136/2 = 68 minutos), pois ambos têm produtividades positivas. 49 minutos implicaria uma produtividade conjunta de 1/49, que é maior que a soma real (289/20808 ≈ 1/72).

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

72 minutos = 1 hora e 12 minutos. O cálculo correto: 1/153 + 1/136 = 289/20808, e o inverso é 20808/289 = 72 minutos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

1 hora e 25 minutos = 85 minutos. Esse valor não corresponde a nenhuma operação direta com os dados. Se o candidato errasse na soma das frações ou na conversão, poderia chegar a um valor próximo, mas 85 minutos não é o resultado correto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

1 hora e 36 minutos = 96 minutos. Esse valor é maior que o correto (72 min). Poderia surgir de um erro na soma das frações ou de uma interpretação equivocada da regra de três.

Alternativa E — ❌ Incorreta

2 horas e 24 minutos = 144,5 minutos, que é exatamente a média aritmética dos tempos individuais: (153 + 136)/2 = 144,5. Esse é o distrator clássico: quem usa média aritmética em vez de somar as produtividades cai aqui. A média aritmética só seria correta se os dois trabalhassem em sequência, não em paralelo.

Gabarito: letra B