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Questão de Matemática — Equações de Segundo Grau e Equações Biquadradas — VUNESP 2024

MatemáticaEquações de Segundo Grau e Equações Biquadradas
Código
vu206269
Banca
VUNESP
Órgão
SBCPREV
Ano
2024
Cargo
Ag Prev ( )
Um encontro reuniu diversos escritores. Durante o encontro, com exceção dos escritores André e Letícia, cada escritor ofereceu 1 livro a cada outro escritor presente, incluindo André e Letícia. André e Letícia ofereceram um total de 15 livros a alguns escritores. Se o total de livros oferecidos nesse encontro foi 717, o algarismo das unidades do número de escritores nesse encontro é
  1. A5.
  2. B6.
  3. C7.
  4. D8.
  5. E9.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 8.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a O algarismo das unidades é 8 — alternativa D..

A ideia por trás

Este problema é de contagem: quando cada pessoa de um grupo oferece um livro a cada outra, o número de livros trocados é o produto do número de pessoas pelo número de destinatários de cada uma. Aqui há uma exceção: dois escritores não seguem a regra geral, então precisamos separar a contagem em duas partes.

A relação central é que, se há n pessoas e cada uma oferece a n-1 outras, o total de livros seria n(n-1). Mas como André e Letícia fogem da regra, o total é (n-2)(n-1) + 15. Essa expressão vira uma equação do segundo grau, que se resolve com Bhaskara. O discriminante deve ser um quadrado perfeito para que n seja inteiro.

A questão pede o algarismo das unidades de n, então precisamos encontrar n resolvendo a equação corretamente. O erro mais comum é esquecer o termo +2 da expansão de (n-2)(n-1), o que leva a uma equação errada e a uma resposta distratora.

O que a questão dá

  • número total de escritores = n (incógnita)

  • escritores que não são André nem Letícia = n - 2

  • cada um desses n - 2 oferece 1 livro a cada um dos outros n - 1 presentes

  • André e Letícia juntos oferecem 15 livros

  • total de livros oferecidos = 717

O que queremos: o algarismo das unidades do número total de escritores n

Passo 1 — Montar a equação do total de livros

Precisamos traduzir o enunciado em uma equação. Os n-2 escritores comuns oferecem livros a todos os outros n-1 presentes, então o total deles é (n-2)(n-1). Somando os 15 livros de André e Letícia, igualamos a 717.

Por que esta fórmula: Cada um dos n-2 escritores oferece a n-1 outros (todos menos ele mesmo), então o total é o produto. Não é combinação porque cada par é contado duas vezes (A oferece a B e B oferece a A), e o problema conta cada livro oferecido separadamente.

(n−2)(n−1)+15=717(n-2)(n-1) + 15 = 717

De onde vem cada valor: n−2n-2 = enunciado: escritores que não são André nem Letícia · n−1n-1 = enunciado: cada um oferece a todos os outros presentes · 1515 = enunciado: André e Letícia ofereceram 15 livros · 717717 = enunciado: total de livros oferecidos

(n−2)(n−1)+15=717(n-2)(n-1) + 15 = 717
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o +15 ou contar André e Letícia como se também oferecessem a todos, o que daria n(n-1) e uma equação diferente.

Passo 2 — Expandir e simplificar a equação

Para resolver a equação do segundo grau, precisamos colocá-la na forma ax² + bx + c = 0. Expandir o produto e passar tudo para um lado é o passo algébrico necessário.

Por que esta fórmula: A expansão de (n-2)(n-1) = n² - 3n + 2. Somando 15 e subtraindo 717, obtemos a forma padrão.

n2−3n+2+15=717⇒n2−3n−700=0n^{2} - 3n + 2 + 15 = 717 \Rightarrow n^{2} - 3n - 700 = 0

De onde vem cada valor: n2n^{2} = passo 1: expansão de (n-2)(n-1) · −3n-3n = passo 1: expansão de (n-2)(n-1) · −700-700 = constante: 2 + 15 - 717 = -700

n2−3n−700=0n^{2} - 3n - 700 = 0
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o +2 da expansão, resultando em n² - 3n - 702 = 0, que dá n=27 e algarismo 7 (distrator C).

Passo 3 — Calcular o discriminante

Na fórmula de Bhaskara, o discriminante Δ = b² - 4ac decide se há raízes reais e permite calculá-las. Precisamos dele para achar n.

Por que esta fórmula: Para a equação ax² + bx + c = 0, o discriminante é Δ = b² - 4ac. Aqui a=1, b=-3, c=-700.

Δ=b2−4ac\Delta = b^{2} - 4ac

De onde vem cada valor: bb = passo 2: -3 · aa = passo 2: 1 · cc = passo 2: -700

Δ=(−3)2−4⋅1⋅(−700)=9+2800=2809=2809\Delta = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-700) = 9 + 2800 = 2809 = \boxed{2809}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal de c: se usar +700, Δ = 9 - 2800 = -2791, sem raiz real.

Passo 4 — Extrair a raiz quadrada do discriminante

A fórmula de Bhaskara usa √Δ. Como 2809 é um quadrado perfeito, a raiz é inteira, o que garante n inteiro.

Por que esta fórmula: Precisamos de √Δ para substituir na fórmula. 53² = 2809, então √2809 = 53.

Δ=2809=53\sqrt{\Delta} = \sqrt{2809} = 53

De onde vem cada valor: Δ\Delta = passo 3: 2809 · 5353 = constante: 53² = 2809

2809=53=53\sqrt{2809} = 53 = \boxed{53}
NÃO CAIA NESSA!

Aproximar √2809 por 52,9, o que daria n não inteiro e confundiria a resposta.

Passo 5 — Aplicar Bhaskara e achar n

Com Δ e √Δ, a fórmula de Bhaskara dá as duas raízes. Como n é número de pessoas, só a positiva interessa.

Por que esta fórmula: A fórmula é n = (-b ± √Δ)/(2a). Substituímos os valores e calculamos as duas possibilidades.

n=−b±Δ2an = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

De onde vem cada valor: bb = passo 2: -3 · Δ\sqrt{\Delta} = passo 4: 53 · aa = passo 2: 1

n=3±532n = \frac{3 \pm 53}{2}

n = 28 ou n = -25

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de b: usar +3 em vez de -(-3) daria n = (3+53)/2 = 28, mas o sinal correto é -b = 3, então está certo; o erro comum é trocar os sinais e obter n = ( -3 + 53)/2 = 25, que não satisfaz a equação.

Passo 6 — Escolher a raiz positiva e extrair o algarismo das unidades

Número de escritores não pode ser negativo, então descartamos -25. O algarismo das unidades de 28 é 8, que é a resposta.

Por que esta fórmula: Não há fórmula: é só ler o último dígito do número encontrado.

8\boxed{8}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o algarismo das unidades com o das dezenas, ou escolher a raiz negativa por engano.

Resposta: O algarismo das unidades é 8 — alternativa D.

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