Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 43 novas acomodações padrão — alternativa D.

A ideia por trás

Uma razão é uma comparação entre duas quantidades por meio de uma divisão. Dizer que a razão entre luxo e padrão é 2/5 significa que, para cada 2 acomodações de luxo, existem 5 acomodações padrão. Isso não informa os números exatos, apenas a proporção entre eles.

Quando conhecemos a razão entre duas partes e também a soma delas, podemos representar as partes como múltiplos de uma constante k: se a razão é a/b, as partes são a·k e b·k. A soma das partes é (a+b)·k, e igualando essa soma ao total conhecido encontramos k. Depois, multiplicamos k pela parte desejada para obter a quantidade real.

Esta questão fornece a razão após a expansão e o total de acomodações, então usamos a constante de proporcionalidade para achar quantas acomodações padrão existem no final e subtraímos as iniciais.

O que a questão dá

• acomodações padrão iniciais = 112

• acomodações de luxo iniciais = 40

• novas acomodações = 65

• razão luxo/padrão após expansão = 2/5

O que queremos: o número de novas acomodações padrão

Passo 1 — Calcular o total de acomodações após a expansão

Precisamos saber o total de acomodações depois da expansão para usar na proporção. O total é a soma do que já existia com as novas.

Por que esta fórmula: Total = acomodações iniciais + novas acomodações. É uma simples adição.

De onde vem cada valor: $112$ = enunciado: acomodações padrão iniciais · $40$ = enunciado: acomodações de luxo iniciais · $65$ = enunciado: novas acomodações

Passo 2 — Representar luxo e padrão com a constante k

A razão 2/5 nos diz que, para cada 2 de luxo, há 5 de padrão. Para transformar essa proporção em números reais, usamos uma constante k que multiplica cada parte.

Por que esta fórmula: Se a razão é L/P = 2/5, então L = 2k e P = 5k, pois assim a razão se mantém. Essa é a forma padrão de trabalhar com razões quando se conhece a soma.

De onde vem cada valor: $2$ = enunciado: razão luxo/padrão = 2/5 · $5$ = enunciado: razão luxo/padrão = 2/5

Passo 3 — Encontrar o valor de k

Sabemos que a soma de luxo e padrão é o total de 217. Com L = 2k e P = 5k, podemos montar uma equação e achar k.

Por que esta fórmula: A soma das partes é L + P = 2k + 5k = 7k. Igualando ao total, resolvemos para k.

De onde vem cada valor: $2k$ = passo 2: L = 2k · $5k$ = passo 2: P = 5k · $217$ = passo 1: total de acomodações

Passo 4 — Calcular o total de acomodações padrão após a expansão

Com k encontrado, podemos obter a quantidade real de acomodações padrão, que é 5k.

Por que esta fórmula: P = 5k, conforme definido no passo 2.

De onde vem cada valor: $5$ = passo 2: P = 5k · $k$ = passo 3: k = 31

$P$ = 155 acomodações padrão

Passo 5 — Subtrair as acomodações padrão iniciais

A pergunta é quantas acomodações padrão foram ADICIONADAS, não o total final. Por isso, precisamos tirar as 112 que já existiam.

Por que esta fórmula: Novas padrão = total padrão final - padrão inicial.

De onde vem cada valor: $P$ = passo 4: 155 · $112$ = enunciado: acomodações padrão iniciais

$N_{padrão}$ = 43 novas acomodações padrão

Resposta: 43 novas acomodações padrão — alternativa D