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Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2024

MatemáticaQuadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc)
Código
vu206273
Banca
VUNESP
Órgão
SBCPREV
Ano
2024
Cargo
Ana Prev ( )
Um quadrado ABCD de lado 10 cm tem o lado CD em  comum com o paralelogramo CDEF, de área 40 cm2. O lado EF do paralelogramo intersecta o lado BC do quadrado no ponto H, conforme mostra a figura a seguir. Considerando o exposto, afirma-se com correção que a área do polígono ABHED éImagem associada para resolução da questão
  1. A62 cm2.
  2. B66 cm2.
  3. C70 cm2.
  4. D74 cm2.
  5. E78 cm2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 74 cm2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 80 cm² (não está nas alternativas; verificar figura).

A ideia por trás

Área é a medida da superfície de uma figura, em unidades quadradas. Para polígonos, a área pode ser calculada somando ou subtraindo áreas de figuras mais simples, como quadrados e triângulos. O quadrado tem área lado vezes lado; o paralelogramo tem área base vezes altura, onde a altura é a distância perpendicular entre as bases.

A área de um paralelogramo é A = b × h, com b a base e h a altura perpendicular. Se a base é fixa, a área cresce proporcionalmente à altura. No quadrado, todos os lados são iguais e os ângulos são retos, o que permite decompor figuras em triângulos retângulos. A área de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos.

Esta questão pede a área de um polígono formado pela união de partes do quadrado e do paralelogramo. A estratégia é calcular a área do quadrado e subtrair a área do triângulo que fica de fora, usando a altura do paralelogramo para achar o cateto do triângulo.

O que a questão dá

  • lado do quadrado = 10 cm

  • área do paralelogramo CDEF = 40 cm²

  • lado CD é comum ao quadrado e ao paralelogramo

O que queremos: a área do polígono ABHED

Passo 1 — Calcular a área do quadrado

O polígono pedido está dentro do quadrado, então precisamos saber a área total do quadrado para depois subtrair a parte que não pertence ao polígono.

Por que esta fórmula: A área de um quadrado é o produto do lado por ele mesmo, pois todos os lados são iguais.

Aquad=l×lA_{quad} = l \times l

De onde vem cada valor: ll = enunciado: lado = 10 cm

Aquad=10×10=100 cm2A_{quad} = 10 \times 10 = \boxed{100\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir lado com área e usar 10 como área.

Passo 2 — Achar a altura do paralelogramo

A área do paralelogramo é dada, e a base é o lado comum CD. A altura é a distância perpendicular entre CD e EF, que será usada para achar o cateto do triângulo a subtrair.

Por que esta fórmula: A área do paralelogramo é base vezes altura, então isolamos a altura.

h=Aparbh = \frac{A_{par}}{b}

De onde vem cada valor: AparA_{par} = enunciado: 40 cm² · bb = enunciado: CD = 10 cm

h=4010=4 cmh = \frac{40}{10} = \boxed{4\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a área do quadrado no lugar da do paralelogramo.

Passo 3 — Calcular o cateto CH

A altura do paralelogramo é a distância perpendicular entre CD e EF. Como BC é perpendicular a CD, a distância de H até CD é CH. Mas a altura do paralelogramo é a distância entre CD e EF, que é menor que CH, pois EF é inclinada. Precisamos relacionar a altura com CH.

Por que esta fórmula: A altura do paralelogramo é a projeção de CH na direção perpendicular a CD. Como BC é perpendicular a CD, a projeção de CH sobre a perpendicular a CD é CH vezes o cosseno do ângulo entre CH e essa perpendicular. Mas na figura, a altura é exatamente a distância de H até CD, que é CH, pois H está sobre BC e BC é perpendicular a CD. Então CH = 4 cm.

CH=hCH = h

De onde vem cada valor: hh = passo 2: 4 cm

CH=4=4 cmCH = 4 = \boxed{4\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que CH é maior que a altura, mas na figura H está sobre BC, então a distância de H a CD é CH, que é a altura.

Passo 4 — Calcular a área do triângulo HCE

O triângulo HCE é o que será subtraído do quadrado. Temos os catetos CH e CE, então podemos calcular sua área.

Por que esta fórmula: A área de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos.

Atri=CH×CE2A_{tri} = \frac{CH \times CE}{2}

De onde vem cada valor: CHCH = passo 3: 4 cm · CECE = enunciado: CE = 10 cm (lado do quadrado)

Atri=4×102=20 cm2A_{tri} = \frac{4 \times 10}{2} = \boxed{20\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a altura do paralelogramo como cateto, mas CH é 4 cm.

Passo 5 — Subtrair a área do triângulo do quadrado

O polígono ABHED é o quadrado sem o triângulo HCE, então subtraímos as áreas.

Por que esta fórmula: A área do polígono é a área do quadrado menos a área do triângulo.

AABHED=Aquad−AtriA_{ABHED} = A_{quad} - A_{tri}

De onde vem cada valor: AquadA_{quad} = passo 1: 100 cm² · AtriA_{tri} = passo 4: 20 cm²

AABHED=100−20=80 cm2A_{ABHED} = 100 - 20 = \boxed{80\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar em vez de subtrair.

Resposta: 80 cm² (não está nas alternativas; verificar figura)

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