Questão de Matemática — Frações e Dízimas Periódicas — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 60 candidatos — alternativa E.

A ideia por trás

Uma razão compara duas quantidades: dizer que a razão entre A e B é 10/9 significa que, para cada 10 candidatos do cargo A, há 9 do cargo B. Isso não diz quantos são no total, apenas a proporção entre eles. Para transformar essa proporção em números reais, usamos uma constante k: se A = 10k e B = 9k, a razão continua 10/9, e k é o fator que escala a proporção para o tamanho real do grupo.

Quando conhecemos a razão entre duas grandezas, podemos representá-las como múltiplos de uma mesma constante: A = 10k e B = 9k. Isso reduz o problema a uma única incógnita, porque qualquer outra informação (como a soma de frações) vira uma equação só com k. A fração de um total é calculada multiplicando a fração pelo total: por exemplo, 1/5 de A é (1/5)·A. Essa operação vale para qualquer fração e qualquer total.

Esta questão combina a razão inicial com as frações de aprovação: primeiro usamos a razão para escrever A e B em função de k, depois montamos a equação da soma dos aprovados na segunda fase para achar k, e por fim calculamos a fração pedida.

O que a questão dá

• razão entre aprovados na 1ª fase: A/B = 10/9

• aprovados na 2ª fase: a quinta parte dos de A e a sexta parte dos de B

• total de aprovados na 2ª fase: 140

O que queremos: o número de aprovados para o cargo B após a segunda fase

Passo 1 — Representar os aprovados da 1ª fase com uma constante

A razão 10/9 sozinha não dá os números, só a proporção. Para transformá-la em quantidades concretas, usamos a constante k: se A = 10k e B = 9k, a razão continua 10/9, e k é o fator que escala a proporção para o tamanho real. Isso reduz o problema a uma única incógnita.

Por que esta fórmula: É a definição de razão: se A/B = 10/9, então A = 10k e B = 9k para algum k. Essa é a técnica padrão para trabalhar com razões.

De onde vem cada valor: $10$ = enunciado: razão A/B = 10/9 · $9$ = enunciado: razão A/B = 10/9

Passo 2 — Calcular os aprovados da 2ª fase em função de k

Agora que temos A e B em função de k, podemos calcular quantos foram aprovados na segunda fase: a quinta parte de A e a sexta parte de B. Fração de um total é multiplicar a fração pelo total.

Por que esta fórmula: A fração de um total é o produto da fração pelo total: 1/5 de A = (1/5)·A. Substituímos A por 10k e B por 9k.

De onde vem cada valor: $\frac{1}{5}$ = enunciado: a quinta parte dos de A · $10k$ = passo 1: A = 10k · $\frac{1}{6}$ = enunciado: a sexta parte dos de B · $9k$ = passo 1: B = 9k

Passo 3 — Montar a equação da soma dos aprovados

O enunciado diz que o total de aprovados na segunda fase é 140. Somamos os aprovados de A e B, que já estão em função de k, e igualamos a 140. Isso nos dá uma equação para achar k.

Por que esta fórmula: A soma dos aprovados é a soma das duas frações: 2k + 1,5k = 140. Essa é a única equação que relaciona k com o dado numérico.

De onde vem cada valor: $2k$ = passo 2: aprovados de A · $1{,}5k$ = passo 2: aprovados de B · $140$ = enunciado: total de aprovados na 2ª fase

Passo 4 — Resolver a equação para achar k

Com a equação montada, isolamos k para descobrir o fator de escala. Isso é necessário porque o número de aprovados de B depende de k.

Por que esta fórmula: A equação é linear: 3,5k = 140. Para isolar k, dividimos ambos os lados por 3,5.

De onde vem cada valor: $140$ = passo 3: soma dos aprovados · $3{,}5$ = passo 3: 2 + 1,5

Passo 5 — Calcular os aprovados do cargo B

Agora que sabemos k, podemos calcular o número de aprovados para o cargo B, que é a sexta parte dos 9k candidatos iniciais de B. Esse é o valor que a questão pede.

Por que esta fórmula: Já tínhamos a expressão: aprovados de B = 1,5k. Substituímos k por 40.

De onde vem cada valor: $1{,}5$ = passo 2: 1/6 de 9k · $k$ = passo 4: 40

Resposta: 60 candidatos — alternativa E